Question

导数问题求解！

三角形ABC中，AB 每分钟延长 2cm， AC 每分钟延长 3cm。 两边的夹角∠A每分钟增长 1°。当AB = 40cm， AC = 75cm， ∠A = 30° 时，三角形的面积每分钟减小多少？

用三角函数导数求！跪谢！

Answer 1

经过t分钟，AB=40+2t, AC=75+3t, ∠A=(30+t)π/180
三角形的面积S=(1/2) (40+2t)(75+3t)sin[(30+t)π/180]= (20+t)(75+3t)sin[(30+t)π/180]
dS/dt =
(75+3t)sin[(30+t)π/180]+3(20+t)sin[(30+t)π/180]+(20+t)(75+3t)cos[(30+t)π/180]*(π/180)
在上式中令t=1
dS/dt |(t=1) = 141sin(31π/180) + 21*78π/180*cos(31π/180)
面积应该是增加不是减少

追问

不对啊，我算出 97， 但是答案是每分钟增长90. 为什么把 t 设为1？

追答

后面一步我算错了，重做
dS/dt的式子没错
微分dS=(dS/dt)dt
令t=0(指题目给的三角形的时刻）,dt=1（指经过的时间是1分钟）
ΔS≈dS =135sin(π/6)+ 25π/3 *cos(π/6) =90.1
答案90可能是取整数。另外这种题目好像与国内题目风格不太一致，似乎是外来的。

Answer 2

当时间为t时，三角形面积是S=(1/2)(2t)(3t)sin(π/36＋t/π)=3tsin(π/36＋t/π)，求出S对t的导数，并以t=25(经过了25分钟，则原来的角度为5°)代入即可。
这也不对啊，原始数据呢？？ (确定当时间是t时的三角形面积表达式，再求导并以到达此位置时所需的时间t的值代入计算即可)

Answer 3

是多变量函数，要用到偏导数的知识。
S=0.5*AB*AC*sinA
dS/dt=(gS/gAB)(dAB/dt)+(gS/gAC)(dAC/dt)+(gS/gsinA)(dsinA/dA)(dA/dt)(g表示偏导数符号)
其中：
gS/gAB=0.5*AC*sinA , gS/gAC=0.5*AB*sinA , gS/gsinA=0.5*AB*AC,dsinA/dA=cosA
故，将条件对应带入：
dS/dt=(0.5*75*0.5)*2+（0.5*40*0.5）*3+（0.5*75*40）*(cos30°)*(PI/180)
(注意：dA/dt要换算成弧度）
计算可得结果。

追问

偏导数都出来了，有没有普通导数的？ 没学到偏导，肯定可以用普通导数做出来的，谢谢！

追答

哦。其实是熟悉了偏导数，所以弄复杂了。
你把AB,AC，A都看成t的函数(A要用弧度)，然后S就能写成t的函数了，这样就是针对t的单变量函数了。AB=(40+2t), AC=(75+3t), A=(30+t)*PI/180
然后把S=0.5*AB*AC*sinA用上面表示，求dS/dt，结果一样。

Answer 4

题目不清楚。所谓增加或减少，总是在比较的前提下进行的。比如问“甲现在的速度是每小时23千米，他的路程增加了多少？”——你能回答吗？
你的题中，“当AB = 40cm， AC = 75cm， ∠A = 30° 时，三角形的面积每分钟减小多少？”没有比较怎样让人回答？