Question

怎么证明1+1=2？希望可以提供完整的推理过程。谢谢。

Answer 1

证明： 1+1=2

1. 先了解peano 公设：所谓自然数,就是满足下列条件,

1.一集合N 中,有元素n,及后续元素n+,n+与n 对应.

2.元素e 必定属于N 中.

3.元素e 在N 中不为任一元素的后续元素.

4.N 中的元素,a+=b+则a=b.(元素唯一)

5.(归纳公设)S 为N 的子集,e 属于S,n 属于S,n+也属于S.那么S=N.

N 就是我们说的自然数集合.

其中我们规定e:=1, e+:=2, (e+)+:=3,.....以此类推.

2. 再来定义加法,

加法(+)为一函数，这函数满足两个条件

1.(+)(n,e)=n+ 写成大家熟悉的式子1.n(+)e=n+

2.(+)(n,m+)=((+)(n,m))+ 2.n(+)m+=(n(+)m)+

满足上面条件的函数(+),我们称为加法+.(+):=+

满足这两条件的函数是可以证明存在且唯一：证明如下

因为(+)(e,e)=e+

e(+)e=e+

所以1+1=2 得证.

存在：

e, e+ ,(e+)+,…… 即所有自然数

唯一：

n N " Î ，

+(n,e)=n+

+(n,e+)=(+(n,e))+

+(n,e+)+)=………

故(+)存在且唯一

上述证明翻成白话文如下：

自然数系依加法运算分别是：1，1+，(1+)+，……。而这些1+，（1+）+，…就用符号2，3，…

表示，所以1 + 1指的是1後面那一个数字，也就是1+，自然就是2。

为什麼会有Peano 公设，及定义加法，这起源於十九世纪末，二十世纪初，Hibert，Brouwer，

因物理上狭义相对论，及量子论推翻了物理旧基础，而数学家们因此想证明，数学是有坚固基础，

是不变的真理。所以希望能从逻辑上建立一个完整、严密的基础，於是第一个当然针对自然数系开

始，希望能像欧氏几何一样，从基本公设，经由逻辑就可以得到完整的自然数系性质，所以归结出

Peano 五个公设（其实後人把它进一步归结成三个），而罗素与他的老师怀海德合写<<数学原理>>

三大卷，就是做了一部份工作。Hilbert 拟了一连串计画要把数学的基础转化成逻辑，这样一来，

数学家就可以宣称「数学是真理」。不幸的是，1929年Godel 23岁时证明了一个定理：

不完全性定理：

如果有一个系统包含算术，而且这一系统的基本假设并不会互相矛盾，那麼这个系统中

一定存在一个命题，这一个命题的肯定或否定都无法证明。

所以数学并不只是逻辑。当然「1 + 1 = 2」的证明是否很有意义，可以从Godel的定理来看看。

追问

虽然不是手工制作，但是依然谢谢你。这个解法我知道。我是希望有一种更确切的解释

Answer 2

谁告诉你1+1=2？ 你问这问题就说明你心里认为1+1=2！ 我很肯定的告诉你1+1未必只等于2.

Answer 3

在个进制中，1+1=2 ，在十进制中，1+1=10，在百进中，1+1=100……以此类推。