Question

可积函数积分出来的函数一定连续吗

Answer 1

不一定。

不定积分寻找的是原函数，这个原函数的导数就是被积函数，这个被积函数是不可以出现间断点的。一旦出现了间断点，不定积分将手足无措，无法解决，所以就要求被积函数不可以有任何的间断点。

因为被积函数没有任何间断点，原函数的导函数就等于被积函数，这是不定积分设定的。在这样的情况下的可积函数是指被积函数，积出来的原函数是连续的。

在原函数可导的假设下，它连续是先决条件，连续不一定可导，而可导的函数必须是连续函数。原函数既然可导，那原函数就必须连续，这是可导的必要条件。

扩展资料：

在勒贝格测度理论的基础上建立起来的。这一积分可以统一处理函数有界与无界的情形，函数也可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理。因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛，特别对概率论与数理统计的深入学习有十分重要的意义。

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标。

从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

参考资料来源：百度百科——可积函数

Answer 2

楼上网友的解答，用的是春秋文字，似乎答到了问题的本质，
又似乎跟问题毫不相干，初学者一定会一头雾水，不得要领。
.
1、【从不定积分角度来说】
不定积分寻找的是原函数，这个原函数的导数就是被积函数，这个
被积函数是不可以出现间断点的。一旦出现了间断点，不定积分将
手足无措，无法解决，所以就要求被积函数不可以有任何的间断点。
.
因为被积函数没有任何间断点，原函数的导函数就等于被积函数，
这是不定积分设定的。在这样的情况下的可积函数是指被积函数，
积出来的原函数是连续的。在原函数可导的假设下，它连续是先
决条件，连续不一定可导，而可导的函数必须是连续函数。原函
数既然可导，那原函数就必须连续，这是可导的必要条件。
.
说穿了，微积分在这里好像是严格概念问题，其实只是文字游戏。
是默认，是设定，是假设，是前提，但是喜欢虚张声势、穿凿附
会、狐假虎威的教师们，已经形成了集体性格，总喜欢说得神乎
其神，总是语义跌宕、突兀，更喜欢用文痞语言，如：显然、不
妨设、显见、易见、、、、、学生越是抓耳挠腮，他们就越得瑟。
.
2、【从定积分角度来说】
就更自然而然了，由于定积分的定义是无数个无穷小的量的代数
和，是无数个无穷小的相加。既然是无数个无穷小的一点点一点
点的累积 accumulation，summation，integration，那么就
是连续，因为连续 continuity 的本意就是一点点一点点无限地
延伸、无限的累积。
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如有疑问，欢迎追问，有问必答，有疑必释，释必细致。
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Answer 3

是的。可积，原函数必然可微，可微必然连续。

Answer 4

引用PasirRis白沙的回答：
楼上网友的解答，用的是春秋文字，似乎答到了问题的本质，
又似乎跟问题毫不相干，初学者一定会一头雾水，不得要领。
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1、【从不定积分角度来说】
不定积分寻找的是原函数，这个原函数的导数就是被积函数，这个
被积函数是不可以出现间断点的。一旦出现了间断点，不定积分将
手足无措，无法解决，所以就要求被积函数不可以有任何的间断点。
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因为被积函数没有任何间断点，原函数的导函数就等于被积函数，
这是不定积分设定的。在这样的情况下的可积函数是指被积函数，
积出来的原函数是连续的。在原函数可导的假设下，它连续是先
决条件，连续不一定可导，而可导的函数必须是连续函数。原函
数既然可导，那原函数就必须连续，这是可导的必要条件。
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说穿了，微积分在这里好像是严格概念问题，其实只是文字游戏。
是默认，是设定，是假设，是前提，但是喜欢虚张声势、穿凿附
会、狐假虎威的教师们，已经形成了集体性格，总喜欢说得神乎
其神，总是语义跌宕、突兀，更喜欢用文痞语言，如：显然、不
妨设、显见、易见、、、、、学生越是抓耳挠腮，他们就越得瑟。
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2、【从定积分角度来说】
就更自然而然了，由于定积分的定义是无数个无穷小的量的代数
和，是无数个无穷小的相加。既然是无数个无穷小的一点点一点
点的累积 accumulation，summation，integration，那么就
是连续，因为连续 continuity 的本意就是一点点一点点无限地
延伸、无限的累积。
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如有疑问，欢迎追问，有问必答，有疑必释，释必细致。
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震荡间断点 也有 原函数
x^2 * sin(1/x) 就是 2x*sin(1/x^2) - (2/x)*cos(1/X^2) ,x 不等于0 ; 0 ,x等于0 的原函数
x = 0 是 震荡间断点. 所以 楼上的推荐答案里面有误 ,望 勘正