Question

因式分解问题

请问，如（x^5-1)=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)以及(x^5+1)=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)是怎么分解的，有没有规律，最好能给一个一般形式的过程及结论，谢谢！

Answer 1

再复杂些的式子的规律，我忘了。这两个是这样判断的：
因为当x＝1时，x^5-1=0,所以x-1一定是x^5-1的一个因式。用x^5-1除以x-1即可。
类似地，因为当x＝－1时，x^5+1＝0，所以x-(-1)即 x+1一定是x^5+1的一个因式。
这里应用的是一个定理（因式定理）。

Answer 2

x^5-1分解因式如下：
x^5-1=x^5-x+(x-1)
=x(x^4-1)+(x-1)
=x(x^2+1)(x^2-1)+(x-1)
=x(x^2+1)(x+1)(x-1)+(x-1)
=(x-1)[x(x^2+1)(x+1)+1)
=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
观察下列各式的规律
(X-1)(X+1)=X^2-1,
(X-1)(X^2+X+1)=X^3-1,
(X-1)(X^3+X^2+X+1)=X^4-1
(X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1)=X^5-1……
可得一般形式为：(x-1)[x^n+x^(n-1)+···+x+1]=x^(n+1)-1