Question

已知三角形abc中，角c等于90度，d为ab中点，e.f分别在ac.bc上，且de垂直df，求证ae平方加上bf方等于ef平方

Answer 1

证明：如图，过点D分别作AC，BC的垂线，垂足分别为G，H。

      因为D为AB的中点，△ABC为直角三角形

      所以AG=CG，BH=CH，且DG⊥DH

         又因为DE⊥DF

         所以∠GDE=∠HDF

         又有∠EGD=∠FHD=90度

     所以△EGD∽△FHD

        所以DG/DH=GE/FH=（CG-CE）/(BH-BF)=（GE+CG-CE）/(FH+BH-BF)=（GE+AG-CE）/(FH+CH-BF)=（AE-CE）/（CF-BF）

   （注：GE/FH=（CG-CE）/(BH-BF)=（GE+CG-CE）/(FH+BH-BF)（这一步用到了分数的合比性质，即如果a/c=b/d那么有a/c=b/d=(a+c)/(b+d)）

    又因为DG/DH＝DG/AG=BC/AC

       所以BC/AC=（AE-CE）/（CF-BF）

    所以BC*（CF-BF）=AC*（AE-CE）又有BC=CF+BF，AC＝AE+CE

       所以(CF+BF）*（CF-BF）=(AE+CE）*（AE-CE）

    CF^2-BF^2＝AE^2-CE^2

       CF^2+CE^2＝AE^2+BF^2

       根据勾股定理有：CF^2+CE^2＝EF^2

       所以AE^2+BF^2＝EF^2，命题得证

    注：你在题中把点用小写字母表示，应当用大写字母，我上面证明用了大写字母。

Answer 2

证明：延长ED至G，使DG=DE，连接GF，GB
∵ DG=DE，DE⊥DF
∴ GF=EF
∵ BD=DA，DG=DE，∠BDG=∠ADE
∴ ΔBDG≌ΔADE
∴ BG=AE，∠GBD=∠A
∵ ∠C=90º
∴ ∠ABC+∠A=90º
∵ ∠GBD=∠A
∴ ∠ABC+∠GBD=90º，即∠GBF=90º
∴ GF²=BG²+BF²
∵ GF=EF，BG=AE
∴ EF²=AE²+BF²
这个比较好理解！

Answer 3

rt三角形中由勾股定律可以得到：EF^2=DF^2+DE^2=CF^2+CE^2
D是AB中点，所以AD=BD=0.5AB
而由余弦定律可得：DE^2=AE^2+AD^2-2AE*AD*COS A=AE^2+AD^2-AE*AC
DF^2=BF^2+BD^2-2BF*BD*COS B=BF^2+BD^2-BF*BC
(因为COS A=AC/AB COS B=BC/AB)
所以EF^2=DF^2+DE^2=AE^2+BF^2+AD^2+BD^2-AE*AC-BF*BC
=AE^2+BF^2+0.5AB^2-AE*AC-BF*BC (1)

同样由 EF^2=CF^2+CE^2
得到 EF^2=(BC-BF)^2+(AC-AE)^2=
=BF^2+AE^2+AC^2+BC^2-2BC*BF-2AC*AE
=AE^2+BF^2+2(0.5AB^2-AE*AC-BF*BC) (2)
2*(1)-(2)可得：
EF^2=AE^2+BF*2

追问

我们还没学余弦定律呢，还有别的方法吗

追答

不知道诶，我几何反面不太好，你等别人的答案吧，很抱歉