Question

三道函数题,高分求解！

已知 向量a=(sinx，2倍根号3 cosx),向量b=(2sinx,sinx),设f(x)=向量a*向量b-1
（1）若x属于[0，派/2]，求f(x)的值域。
（2）若函数y=f(x)的图象关于直线x=a（a大于0）对称，求a的最小值。

已知函数f(x)=cos2x/2-sinxcosx-sin2x/2
（1）求f(x)的最小正周期和函数f(x)图象的对称轴的方程。
（2）求f(x)的单调增区间。
（3）函数y=cos2x的图象可以由函数f(x)的图象经过怎样的变换到？

设f(x)=6cos方x-根号3sin2x.（用 Asin(ωx+φ)+B的形式求解）
（1）求f(x)的最大值及最小正周期。
（2）若锐角a满足f(a)=3-2根号3，求tan 4a/5的值。
你们的回答很难办啊，三道大题要么漏了几个小问没答，要么第一题错，第二题对 - -，我给分也不好给，能不能给个统一答案。。。。？？？？

Answer 1

1、f(x)=2sin²x＋2√3sinxcosx=1－cos2x＋√3sin2x=2sin(2x－π/6)＋1。当x∈[0，π/2]时，f(x)∈[2，3]；若f(x)关于直线x=a对称，而f(x)的对称轴是2x－π/6=kπ＋π/2，解得x=kπ/2＋π/3，因a>0且需要最小的a，则k=0，此时a=π/3。
2、f(x)=cos(2x)－sin(2x)=√2cos(2x＋π/4)。最小正周期是π，对称轴是2x＋π/4=kπ＋π/2，即对称轴是x=kπ/2＋π/8，其中k是整数。增区间是[kπ－5π/8，kπ－π/8]。函数y=cos2x可以由这个函数向左平移π/8个单位并将f(x)图像上的点的横坐标不变，纵坐标都缩小到原来的√2倍所得到。
3、f(x)=6cos²x－√3sin2x=3cos2x－√3sin2x＋3=3＋2√3sin(2x＋2π/3)。最大值是2√3＋3，最小正周期是π。由f(a)=2√3sin(2a＋2π/3)＋3=3－2√3，所以sin(2a＋2π/3)=－1，得锐角a=5π/12，则tan(4a/5)=tan(π/3)=√3。

追问

第3题，我 到 3cos2x－√3sin2x＋3 这一步跟你是一样的
但 解出来 的是 2√3sin(2x- π/3) +3
A应该是 sin 和 cos的系数 的平方和开根号，得到2倍根号3。
然后 括号里的就是 2x-φ，sinφ=cos的系数/A =3/ 2倍根号3
分母有理化后 就是 根号3/2。
所以sinφ=根号3/2，所以 φ=60=π/3。
最后 求 tan4a/5的值，就是2a-π/3=3π/2
a=11π/12
4a/5=tan 11π/15
帮我看下 过程哪错了？

追答

就对3cos2x－√3sin2x帮你推导一下。
3cos2x－√3sin2x=2√3(√3/2cos2x－1/2sin2x)=2√3cos(2x＋π/6)
再利用sin(π/2＋x)=cosx，那就得到：
2√3cos(2x＋π/6)=2√3sin(2x＋π/6＋π/2)=2√3sin(2x＋2π/3)
或者3cos2x－√3sin2x=2√3(√3/2cos2x－1/2sin2x)=2√3[sin60°cos2x－cos60°sin2x]=2√3sin(60°－2x)=2√3sin[]180°－(60°－2x)]=2√3sin(2x＋120°)。
还是一样的。

Answer 2

1
向量a=(sinx，2c向量a=(sinx，2√3 cosx),向量b=(2sinx,sinx),设f(x)=向量a*向量b-1
f(x)=2(sinx)^2+2√3sinxcosx-1=√3sin2x-cos2x=2sin(2x-π/6)
0=<x=<π/2 x=π/12,f(x)最小=0,x=π/3,f(x)最大=2，0≤f(x)≤2
2
f(x)=cos2x/2-sinxcosx-sin2x/2=cos2x/2-sin2x/2-sin2x/2=cos2x/2-sin2x=(√5/2)[( 1/√5)cos2x-(2/√5 )sin2x] 取cost=1/√5,sint=2/√5, t=arccos(1/√5)
f(x)=(√5/2)cos(2x+t),
周期T=2π/2=π, -π/2<2x+t<π/2, [-π/4-arccos(1/√5)]<x<[π/4-arccos(1/√5)]
f(x)=(√5/2)cos[2(x+t/2)]
对称轴x=-t/2=-[arccos(1/√5)]/2
可以由图像y=cos2x水平左移动t/2,即得
3
f(x)=6(cosx)^2-√3sin2x=3cos2x+3-√3sin2x=(3cos2x-√3sin2x)+3=2√3*[(√3/2)cos2x-(1/2)sin2x]+3
cos(π/6)=√3/2 sin(π/6)=1/2, f(x)=(2√3)cos(2x+π/6)+3
x=11π/12时，f(x)最大=3+2√3
最小正周期-π/2<2x+π/6<π/2, -π/3<x<π/6
f(a)=3-2√3, 2x+π/6=π,x=5π/12,a=5π/12 4a/5=π/3, tan(4a/5)=tan(π/3)=√3

追问

第一题的 值域 应该 是 [-1，2]吧？
图象往右移动π/12个单位，那最小就是 -π/6。

追答

1, [-1,2]a最小π/3>0,极大值

追问

第2题 第一问
为什么 是 -π/2<2x+t<π/2
求对称轴 不是 2x+t=kπ+π 吗？（电脑上看麻烦死了，头都晕了 - -）

我还专门找了资料：http://zhidao.baidu.com/question/7618328.html?fr=qrl&cid=153&index=1&fr2=query

Answer 3

第一题：解：（1）：f(x)=2倍sinx的平方+2倍根号3 cosxsinx-1
化简为：
f(x)=-2cos（2x+π／3）
显然f(x)在x=0处去最小为-1；在x=π／3处取最大为2
（2）：f（x）=-2cos2x的图像易作
则 f(x)=-2cos（2x+π／3）的图像将原有图像向左平移π／3
因为f（x）=-2cos2x的最小正周期为π／2，
所以 f(x)=-2cos（2x+π／3）的最小正周期为π／2-π／3=π／6
即a=π／6
第二道;其实这道与第一道题差不多，我想主要难点在于f（x）的化简
对于三角函数的化简主要是要掌握三角函数之间的转换如和差化积（积化和差），三角函数倍数公式，不同三角函数间的关系等这些书上都有。在此再教你一个结论性公式对于形如f（x)=asinx+bcosx的简化：
f（x)=asinx+bcosx
=根号下（a2+b2）[a×根号下（a2+b2）／a2+b2sinx+b×根号下（a2+b2）／a2+b2cosx]
因为 [a×根号下（a2+b2）／a2+b2 ]2+ [b×根号下（a2+b2）／a2+b2]2=1
所以 a×根号下（a2+b2）／a2+b2 与b×根号下（a2+b2）／a2+b2必然是同一数的正余弦，成而用积化和差公式将其合并。
方法已经交给你了，本人不喜欢帮完全靠别人的人。明显第三题也类于第一题 ，所以以下的工作希望阁下自己完成

追问

则 f(x)=-2cos（2x+π／3）的图像将原有图像向左平移π／3
平移 不是 把 2提出来 变成 2（x+π／6），然后左加右减 ，向左平移 π／6 吧？
而且 T=2π/W，W=2π，所以T=π
我一般喜欢解成 sin 的形式表达，然到 变成 cos后就不同了？ - -

而且第2题 我解得 f(x)=cos2x /2 - sin2x
用辅助公式的话 那 sinφ=根号5/5 或 cosφ=2倍根号5/5
那你能告诉我 怎么用 Asin(ωx+φ)+B 或cos的形式表达？

追答

根据sinx=cos(π/2-x)可实现正余弦的互导，而sin,cos根据个人习惯，无硬性规定。

追问

好吧,你回避了我的问题
则 f(x)=-2cos（2x+π／3）的图像将原有图像向左平移π／3
平移 不是 把 2提出来 变成 2（x+π／6），然后左加右减 ，向左平移 π／6 吧？

而且第2题 我解得 f(x)=cos2x /2 - sin2x
用辅助公式的话 那 sinφ=根号5/5 或 cosφ=2倍根号5/5
那你能告诉我 怎么用 Asin(ωx+φ)+B 或cos的形式表达？

求这题的 sin 或 cos 表达式,是sin最好.

Answer 4

1,f(x)=2(sinx)^2+2倍根号3cosxsinx-1=2(sinx)^2+2倍根号3cosxsinx-(conx)^2-(sinx)^2=(sinx)^2+2倍根号3cosxsinx-(conx)^2=sinxsin(x+60°)-cosxcos(x+60°)=-2cos（2x+60°）
（1）【-1,2】
（2）a=π/3

6

Answer 5

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