Question

设函数f(x)=x-(x+1)ln(x+1) (1)若方程f(x)=t在[-1/2,1]上有两个实数解,求实数t的取值范围

设函数f(x)=x-(x+1)ln(x+1)
(1)求f(x)的单调区间
(2)若方程f(x)=t在[-1/2,1]上有两个实数解,求实数t的取值范围
(3)是否存在实数m∈[0,1/2],使曲线y=f'(x)与曲线y=ln(x+1/6)及直线x=m所围图形的面积S为1+2/3ln2-ln3，若存在，求出一个m的值，若不存在说明理由

Answer 1

(1)倒数F(x)=-ln(x+1)
当F(x)<0时，x>0
当F(x)>0时,-1<x<0
故f(x)的单调减区间为0到正无穷
单调增区间为-1到0
（2）当x=-1/2时，f(-1/2)=1/2(ln2-1)
当x=0时，f(0)=0
当x=1时，f(1)=1-2ln2
即f(1)<f(-1/2)<f(0)
故t的取值范围是1-2ln2<t<0
(3)y=f'(x)与y=ln(x+1/6)的交点为[1/2,ln(2/3)]
三条线所谓成图形面积为
S=（m到1/2积分)[-ln(x+1)-ln(x+1/6)]dx .......分部积分法
=-[(x+1)ln(x+1)-x+xln(6x+1)-x/6+ln(6x+1)/36-xln6]【m到1/2】
（好难算，你慢慢算一遍吧，大概思路是这样）
再看S=1+2/3ln2-ln3，解出m就可以知道是否存在了

Answer 2

(1)是高中求导函数的基本题型，求出f(x)的导函数，然后让分别其大于0，小于0，所得到的x范围就是原函数的单调递增，单调递减区间，其中（x+1)ln(x+1)的导数，按照公式『U*V的导数+U的导数*V』的公式即可计算（教科书中打*号的部分应该有公式）.
(2)比较简单，（3）比较麻烦，但一般情况下，你先把（1）（2）的题型练熟就可以了，（3）可以选择放弃，高考大题中，最后两道的第三问都是卡分的，根据自己情况分配时间和精力才能确保最后拿到更多的总分。