Question

初三数学题（过程完整追加+20财富值）

已知：如图，在梯形ABCD中，AD‖BC，∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O。
（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP相似于△DOE。
（2）设（1）中的相似比为k，若AD：BC=2：3。请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当k=1是，是 ：②当k=2时，是 ；③当k=3时，是 。并证明k=2时的结论。

Answer 1

1)∠BOP=∠DOE,而AD||BC，所以∠ODE=∠OBP，因此△BOP相似于△DOE。
2)不妨设AD=2x，则BC=3x，E是AD中点，所以AE=DE=x
当k=1时，BP:DE=1:1，所以BP=x=AE，BP||AE，所以ABPE为平行四边形
当k=2时，BP:DE=2:1，所以BP=2x，PC=x=DE，而PC||DE，且∠DCB=90°，所以PCDE为矩形，∠BPE=90°，所以ABPE为直角梯形
当k=3时，BP:DE=3:1，所以BP=3x=BC，此时为等腰梯形

Answer 2

（1）要证明两个三角形相似其实很简单。一组对顶角,又因AD平行于BC，又得到一组内错角。所以想似。
（2）因为AD：BC为2:3，加E为AD中点，所以DE：BC为1:3．
若K＝1，则De＝BP所以AE＝BP。所以四边形为平行四边形。
若K=2，则DE：BP为1:2，所以AE：BP为1:2．所以为等腰梯形。
若K＝3就是P在C点。

Answer 3

（1）
ED//BC ∴∠obp=∠ode ∠oed=∠opb （内侧角相等）
∠bop=∠eod（对顶角相等）
∴△bop∽△eod
（2）k=1 梯形
k=2 平行四边形
k=3 直角梯形

△BPE∽△DEO ∴BP=k×ED
k=2 BP=2ED 又AD=2ED
∴BP=AD 又BP‖AD
∴四边形ABPE是平行四边形

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Answer 4

（1）角BOP等于角EOD：角EDO等于角OBP：叫可以得到角DEO角等于OPB：所以三角形BOP相似于三角形DOE
（2）