Question

紧急请教两道数学题目，希望能得到满意的解答，谢谢帮忙！

1.若f（x）=x^2+bx+c，不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0.
（1）求证：b+c=-1；
（2）求证：c≥3；
（3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b，c的值。
2.已知函数y=a-bcosx的最大值是1.5【2分之3】，最小值是-0.5【负2分之1】，求函数y=-4bsinax的最大值，最小值及最小正周期。
这两道题，请您多费些时间把过程写得清楚些，深表感谢。

Answer 1

1、结合f(x)的图形来做题。f(x)的图形是一条抛物线，开口向上，类似于U形。
（1）由f(sinα)≥0可得f(1)≥0，由f(2+cosβ)≤0得f(1)≤0，所以f(1)＝0。f(1)＝1+b+c，所以b+c=-1
（2）由f(2+cosβ)≤0还可得f(3)≤0。f(3)＝9+3b+c。由b+c＝-1得b＝-1-c，所以f(3)＝9+3b+c＝6-2c≤0，所以c≥3
（3）根据f(x)的图形，f(x)在[-1,1]上是递减的，所以f(sinα)的最大值是f(-1)＝1-b+c。所以1-b+c＝8，又b+c＝-1，解得b＝-4，c＝3
2、y＝a-bcosx的最大值和最小值一个是a+b，一个是a-b。所以a+b＝1.5，a-b＝-0.5或a+b＝-0.5，a-b＝1.5。
若a+b＝1.5，a-b＝-0.5，则a＝0.5，b＝1。y＝-4bsinax＝-4sin(x/2)，最大值是4，最小值是-4，最小正周期是4π。
若a+b＝-0.5，a-b＝1.5，则a＝0.5，b＝-1。y＝-4bsinax＝4sin(x/2)，最大值是4，最小值是-4，最小正周期是4π。

Answer 2

1.因为 f（x）=x^2+bx+c
转化成 f（x）=（x+b/2)^2-b^2/2+c 易知其图像为U的曲线
（1）不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0
-1《sinα《1 1《2+cosβ《3 （《 小于等于）
可知当x=1时 f（1）=1+b+c=0 则b+c=-1
（2）f（2+cosβ）≤0，1《2+cosβ《3 ，b+c=-1
则 f（3）=x^2+bx+c=3^2+(-c-1)*3+c≤0 c≥3
（3）在函数f（sinα）中 -1《sinα《1
且 f（x）中【-1,1】中为减函数，则f（-1）最大
f（-1）=（-1）^2+(-1)b+c=（-1）^2+(-1)*(-c-1)+c=2+2c=8
c=3, b=-4
2.已知函数y=a-bcosx的最大值是1.5【2分之3】，最小值是-0.5【负2分之1】
a-b《a-bcosx《a+b
a-b=-0.5
a+b=1.5
a=0.5 b=1
则函数y=-4bsinax就成了 y=-4sin(x/2)
易知 最大值4 最小值-4 周期f= 最小正周期4*pi

Answer 3

第一题：f（sinα）≥0推出-1《X《1时，f（x）》0；f（2+cosβ）≤0推出1《X《3时，f（x）《0，那么X=1是，f（x）=0,得到1+B+C=0，第一小问得证；B=-1-C带入，得到f（x）=(X-1)(X-C),当C<1时，不和题意，所以C>1，所以f（C）》f（3）（有前面可知），第二小问得证；有前面可知在【-1,1】之间单调递减，所以X=-1时，f（sinα）得到最大值，所以B+C=-1，C-B=7;
第二问：可以看作关于B的直线，所以(A-B=1.5，A+B=-0.5)或者（A-B=-0.5，A+B=1.5），得到两组解（A=0.5，B=-1）或（A=0.5，B=1），再求解，应该很容易了啦。。

Answer 4

解答过程看图。

Answer 5

参考图片