Question

帮忙解下题

1、如图，M为正方形ABCD的边AB上的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交角CBE的平分线于N （1）求证：MD=MN
2）若将上述条件中的“M为AB中点”改为“M为AB上一点”，其余条件不变，结论“MD=MN”成立吗？如果成立请证明；如果不成立，请说明理由
（3）若将上述条件中的“M为AB中点”改为“M为AB直线上一点”，其余条件不变，结论“MD=MN”成立吗？如果成立请证明；如果不成立，请说明理由

Answer 1

1、由N点向AE方向做垂线，设交点为F。于MN⊥DM,三角形ADM和MNF为直角三角形，所以角AMD=90-角ADM=90-角NMF=角MNF，所以三角形ADM和FMN相似，FM/FN=AD/AM=2，所以FM=2FN=FB+BM。因为M为AB中点，所以BM=AB*1/2。又因为BN为直角CBE的角平分线，所以三角形BNF为等腰三角形，BF=FN。
所以FM=2FN=FB+BM=FB+FN，FN=FB=AB*1/2=AM，FM=2FN=AD，所以三角形ADM和FMN相似，故MN=MD。
2、通过上步可证明三角形ADM和FMN相似，设四方形形边长为a，MB=x，MF=y，则FN=MF=y。
由于三角形相似，则 FM/FN=AD/AM，即（x+y）/y=a/（a-x）,整理后化简得x+y=a,所以FM=x+y=a=AD，FN=y=FM-x=a-x=AM，所以可以得出两个三角形相等，MN=MD。
3、成立，设M在AB或BA的延长线上，设AD=a，AF=x,AM=b，则FN=FB=a+x，FM=b-x，因为三角形FBN为等腰直角三角形，所以FN=FB=a+x。又因为三角形ADM和FMN相似，所以FM/FN=AD/AM=(b-x)/（a+x）=a/b，整理后化简得x=b-a，所以FM=b-x=a=AD，FN=a+x=b=AM,故两三角形相等，故MN=MD。

10多年不摸这个了，费了老鼻子劲了。

Answer 2

基本思路都是构建三角形 两角一边证明全等

（1） 作ad中点q 连接mq 可证明△mbn≌△dqm
（2） 成立 在ad上截取aq=am 同上证明全等
（3） 分情况 m在ba延长线上 m在ab上 m在ab延长线上
m在ba延长线上 在da延长线上 截取aq=am 同上证明△mbn≌△dqm
m在ab上已经得证
在ab延长线上 作bg垂直bm 交bn于g
证明△mgn≌△mbd