Question

几道高中数学题

1.设函数f（x）=ax-b/x，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0.
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
2.已知函数f（x）=ax^2+2ln（2-x）（a属于R），设曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线为l，若l与圆C：x^2+y^2=1/4相切，求a的值.
请写出详细步骤

Answer 1

1.（1）
f(x)=ax-b/x 所以f'(x)=a+b/x^2
所以在点(2,f(2)) 的斜率为 f'(2)=a+b/4=7/4 ①
(2,f(2))在f(x)上，也在7x-4y-12=0.上，当x=2时，y=0.5
所以f(2)=2a-b/2=0.5 ② 解得a=1，b=3。 f(x)=x-3/x
（2）证明：f'(x)=1+3/x^2 在任意一点x0的切线方程为 y=(1+1/x0^2)(x-x0)+x0-3/x0
化简后得到y=x+x/x0^2-4/x0
它与直线x=0交于 (0 , -4/x0)
与直线y=x交于（4x0,4x0） 所以面积等于S=0.5×|4x0|×|-4/x0|=8
证毕 （我本来想画图的，但是还是说不清楚，希望你看明白，不懂再问吧）

Answer 2

f（x）=ax-b/x
f(x)的导数=a+b/x2
k=7/4=a+b/4 ①
2a-b/2=f(2) ②
①②联立可以求得a,和b