Question

设数列{an}满足a1+2a2+3a3+...+nan=n^2,求数列{an}的通项公式

Answer 1

解：
a1=1²=1
a1+2a2+3a3+...+nan=n²
a1+2a2+3a3+...+(n-1)a(n-1)=(n-1)²
[a1+a2+a3+...+(n-1)a(n-1)+nan]-[a1+a2+a3+...+(n-1)a(n-1)]=n²-(n-1)²
an=n²-(n-1)²=2n-1
n=1代入，a1=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2n-1

Answer 2

a1+2a2+3a3+...+nan =n^2
a1+2a2+3a3+...+nan+(n+1)a(n+1)=(n+1)^2
相减得(n+1)a(n+1)=(n+1)^2-n^2
所以a(n+1)=〔(n+1)^2-n^2]/（n+1)
an=[n^2-(n-1)^2]/n =2-1/n

Answer 3

a1=1²=1
a1+2a2+3a3+...+nan=n²
a1+2a2+3a3+...+(n-1)a(n-1)=(n-1)²
[a1+a2+a3+...+(n-1)a(n-1)+nan]-[a1+a2+a3+...+(n-1)a(n-1)]=n²-(n-1)²
即nan=n²-(n-1)²得an=n-(n-1)²/n
n=1代入，a1=1满足an
因此数列{an}的通项公式为an=n-(n-1)²/n

Answer 4

答案 an==2n-1;
步骤：
n=1时单独验证；a1=1
n>1；n取值n-1；
a1+2a2+3a3+...+nan=n^2
a1+2a2+3a3+...+(n-1)a(n-1)=(n-1)^2
相减
an=n^2-(n-1)^2=2n-1;
所以 an=n^2-(n-1)^2=2n-1;