Question

一道关于定积分的题目

如图所示，要详细过程，谢谢
f（t）没有表达式，就是个连续函数
原题目是：
f（x）=sinx-∫（x-t）f（t）dt，其中f（x）是连续函数
求f（x）。
这道题跟常系数线性微分方程有关。
但是我就是不知道后面这个定积分怎么做·····

Answer 1

注意到 ∫(x-t)f(t)dt = x∫f(t)-∫tf(t)dt
对原式两边求导有 f'(x)=cosx + ∫f(t)dt +xf(x) -xf(x) =cosx + ∫f(t)dt
再两边求导有 f''(x) =-sinx + f(x)
即 f''(x)-f(x)= -sinx
解这个微分方程，得通解f(x)= C1e^x + C2e^(-x) +sinx/2
注意到 f(0)=0 , f'(0)=1
得C1=1/4 , C2 =-1/4
得 f(x)=e^x/4 - e^(-x)/4 + sinx/2

Answer 2

f（x）=sinx-∫（x-t）f（t）dt
f（x）=sinx- x ∫ f（t）dt + ∫ t f（t）dt
对x求导得
f '（x) =cosx -[ ∫ f（t）dt +x f (x) ] + x f (x)
即f '（x) =cosx - ∫ f（t）dt
再对x求导得
f ''（x) =-sinx - f（x）
即f ''（x) + f（x）= - sinx
令f（x）=y
即y'' + y =-sinx
再求出微分方程的解回带即可

不懂可Hi我

Answer 3

f（x）=sinx-∫（x-t）f（t）dt，其中f（x）是连续函数 你把上下限去了就没法做了 x 0 都留着

∫（x-t）f（t）dt 拆成∫ xf（t）dt - ∫ t f（t）dt 再 x ∫ f（t）dt - ∫ t f（t）dt

原f（x）就变成f（x）=sinx - kx + c

打字不好打 剩下的自己做吧 这种在积分有好多例题 多做就会了