Question

求证：根号7是无理数

Answer 1

反证法
设 根号7= n/m m,n整数，且互质
有 7m²=n²
这说明n²为7的倍数，则n为7的倍数
则 n²为49的倍数。
则 m²=n²/7 为7的倍数，即m为7倍数。
说明m，n有公因子7
与互质矛盾
所以根号7是无理数

Answer 2

反证：假设根号7是有理数，则存在两个互质整数m和n，使得根号7=m/n.
两边平方并整理得m²=7n²,
于是m是7的倍数，令m=7q, 代入上式
整理，得：n²=7q²,
故n也是7的倍数，
这与m,n互质矛盾。
故根号7是无理数。

Answer 3

关注非完全平方数p
设整数 p 可分解为p1*p2*...*pz(pi为素数)
假设 根号p 为有理数，可表示为n /m (n, m 互素)
有 n^2= p* m^2
p为非完全平方数，p的素因数至少有一个出现次数为单数，
设最小的这个数为 t
==> n^2| t
==> n| t
则 m^2| t, m| t
然而n| t
同假设n，m互素矛盾
即证

注：a|b 表示a 可以被b 整除

Answer 4

用反证法···