Question

在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱PC=2根号2

求平面PAB垂直平面ABC

Answer 1

证明，取AB中点Q，分别连接PQ、CQ。
因为PAB是正三角形，所以PQ垂直AB。因为CA=CB，所以CAB是等腰三角形，因此CQ垂直AB。
在直角三角形CAB中，AC=BC=2，所以AB=2根号2。CQ = 根号2。
因为PAB是等边三角形，所以PA=PB=AB+2根号2。PQ = 根号6。
在三角形PQC中，PQ=根号6,CQ=根号2，PC=2根号2，
所以PQ^2 + CQ^2 = PC^2，因此角PQC=90度。
因为平面PAB和平面ABC相交于AB，
而且PQ和CQ垂直AB，
所以角PQC就是两个平面所成的二面角。
即两个平面的二面角是90度，所以两个平面垂直。

希望有用，谢谢采纳 ^_^

Answer 2

证明：取AB中点O，连接PO、CO；
因为AC=BC=2，∠ACB=90°，所以AB=2根号2；
又因为△PAB是正三角形，所以PO=根号6；
所以PO2+CO2=PC2；
所以PO⊥CO；所以平面PAB垂直平面ABC；
证毕

Answer 3

证明，取AB中点Q，分别连接PQ、CQ。
因为PAB是正三角形，所以PQ垂直AB。因为CA=CB，所以CAB是等腰三角形，因此CQ垂直AB。
在直角三角形CAB中，AC=BC=2，所以AB=2根号2。CQ = 根号2。
因为PAB是等边三角形，所以PA=PB=AB+2根号2。PQ = 根号6。
在三角形PQC中，PQ=根号6,CQ=根号2，PC=2根号2，
所以PQ^2 + CQ^2 = PC^2，因此角PQC=90度。
因为平面PAB和平面ABC相交于AB，
而且PQ和CQ垂直AB，
所以角PQC就是两个平面所成的二面角。
即两个平面的二面角是90度，所以两个平面垂直。