Question

高等数学，求极限

Answer 1

求极限的各种方法

1
．约去零因子求极限

例
1
：求极限
1
1
lim
4
1



x
x
x

【说明】
1

x
表明
1
与
x
无限接近，但
1

x
，所以
1

x
这一零因子可以约去。

【解】
6
)
1
)(
1
(
lim
1
)
1
)(
1
)(
1
(
lim
2
1
2
1










x
x
x
x
x
x
x
x
=4
2
．分子分母同除求极限

例
2
：求极限
1
3
lim
3
2
3




x
x
x
x

【说明】


型且分子分母都以多项式给出的极限
,
可通过分子分母同除来求。

【解】
3
1
3
1
lim
1
3
lim
3
1
1
3
2
3










x
x
x
x
x
x
x

【注】
(1)
一般分子分母同除
x
的最高次方；

(2)
























n
m
b
a
n
m
n
m
b
x
b
x
b
a
x
a
x
a
n
n
m
m
m
m
n
n
n
n
x
0
lim
0
1
1
0
1
1



3
．分子
(
母
)
有理化求极限

例
3
：求极限
)
1
3
(
lim
2
2





x
x
x

【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

【解】
1
3
)
1
3
)(
1
3
(
lim
)
1
3
(
lim
2
2
2
2
2
2
2
2

















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

0
1
3
2
lim
2
2







x
x
x

例
4
：求极限
3
0
sin
1
tan
1
lim
x
x
x
x





【解】
)
sin
1
tan
1
(
sin
tan
lim
sin
1
tan
1
lim
3
0
3
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x











4
1
sin
tan
lim
2
1
sin
tan
lim
sin
1
tan
1
1
lim
3
0
3
0
0











x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

【注】
本题除了使用分子有理化方法外，
及时
分离极限式中的非零因子
．．．．．．．．．．．
是解
题的关键

4
．应用两个重要极限求极限

两个重要极限是
1
sin
lim
0


x
x
x
和
e
x
n
x
x
x
n
n
x
x











1
0
)
1
(
lim
)
1
1
(
lim
)
1
1
(
lim
，第
一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

例
5
：求极限
x
x
x
x










1
1
lim

【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：
先凑出1，再凑
X
1

，最后凑指
数部分。

【解】
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
lim
1
2
1
lim
1
1
lim
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x























































例
6
：
(1)
x
x
x









2
1
1
lim
；
(2)
已知
8
2
lim











x
x
a
x
a
x
，求
a
。

5
．用等价无穷小量代换求极限

【说明】

(1)
常见等价无穷小有：

当
0

x

时
,
~
)
1
ln(
~
arctan
~
arcsin
~
tan
~
sin
~
x
x
x
x
x
x

1
e
x

,


abx
ax
x
x
b
~
1
1
,
2
1
~
cos
1
2



；

(2)

等价无穷小量代换
,
只能代换极限式中的
因式
．．
；

(3)
此方法在各种求极限的方法中
应作为首选
．．．．．
。

例
7
：求极限
0
ln(1
)
lim
1
cos
x
x
x
x





【
解
】

0
0
2
ln(1
)
lim
lim
2
1
1
cos
2
x
x
x
x
x
x
x
x







.
例
8
：求极限
x
x
x
x
3
0
tan
sin
lim



【
解
】
x
x
x
x
3
0
tan
sin
lim


6
1
3
lim
3
1
cos
lim
sin
lim
2
2
2
1
0
2
0
3
0












x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

6
．用罗必塔法则求极限

例
9
：求极限
2
2
0
)
sin
1
ln(
2
cos
ln
lim
x
x
x
x




【说明】


或
0
0
型的极限
,
可通过罗必塔法则来求。

【
解
】
2
2
0
)
sin
1
ln(
2
cos
ln
lim
x
x
x
x



x
x
x
x
x
x
2
sin
1
2
sin
2
cos
2
sin
2
lim
2
0






3
sin
1
1
2
cos
2
2
2
sin
lim
2
0













x
x
x
x
x

【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解

例
10
：
设函数
f(x)
连续，且
0
)
0
(

f
，求极限
.
)
(
)
(
)
(
lim
0
0
0





x
x
x
dt
t
x
f
x
dt
t
f
t
x

【
解
】

由于









0
0
0
)
(
)
)(
(
)
(
x
x
x
u
t
x
du
u
f
du
u
f
dt
t
x
f
,
于是












x
x
x
x
x
x
x
du
u
f
x
dt
t
tf
dt
t
f
x
dt
t
x
f
x
dt
t
f
t
x
0
0
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
)
(
lim

=






x
x
x
x
xf
du
u
f
x
xf
x
xf
dt
t
f
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
=




x
x
x
x
xf
du
u
f
dt
t
f
0
0
0
)
(
)
(
)
(
lim

=
)
(
)
(
)
(
lim
0
0
0
x
f
x
du
u
f
x
dt
t
f
x
x
x




=
.
2
1
)
0
(
)
0
(
)
0
(


f
f
f

7
．用对数恒等式求
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
极限

例
11
：
极限
x
x
x
2
0
)]
1
ln(
1
[
lim




【
解
】

x
x
x
2
0
)]
1
ln(
1
[
lim



=
)]
1
ln(
1
ln[
2
0
lim
x
x
x
e



=
.
2
)
1
ln(
2
lim
)]
1
ln(
1
ln[
2
lim
0
0
e
e
e
x
x
x
x
x
x








【
注
】对于

1
型未定式
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
的极限，也可用公式

)
(
)
(
lim
x
g
x
f
)
1
(

=
)

Answer 2

看到这种类型一般是进行有理化，分子分母同时乘以根号下（x+m）（x+n）+x，进行化简之后就可以直接求极限了