Question

高中数学极限的问题

求
(1)
lim ((1^2+2^2+3^2+...+n^2)/n^3)

(2)

lim (1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-1/n^2)

注:n^2为n 的二次方

Answer 1

(1)
1/3。
分子是有求和公式的，考虑(k+1)^3
-
k^3
=
3
k^2
+
3k
+
1，等号两边求和不难得到1^2
+
2^2
+
...
+
n^2
=
n(n
+
1)(2n
+
1)
/
6。参看
http://baike.baidu.com/view/892600.htm
(2)
1
-
1/k^2
=
(k+1)(k-1)
/
k^2，相乘可以约分。

Answer 2

楼上的答案是错误的
（1）1^2+2^2+3^2+...+n^2＝n(n+1)(2n+1)/6
（这是平方和公式，要记住）
所以原极限＝1/6
（2）
因为
1－1/n^2＝（n-1）(n+1)/n^2
所以lim (1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...(1-1/n^2)
=lim(1*3/2*2)(2*4/3*3)(3*5/4*4)...[(n-1)(n+1)/n^2]
=lim[1*2*3^2*4^2*...(n-2)^2*(n-1)^2*n*(n+1)/1^2*2^2*3^2*...*n^2]
=lim(1*(n+1)/2*n)=1(其他项约掉了，你自己在纸上列清楚就看出来了)

Answer 3

第一个应该是0吧？
因为根据洛必达法则，分母的幂必分子高，对上下连续求两次导数之后，分子变为常数了，而分母仍是有n的式子，n趋于无穷大时 ，这个式子等于零。

第二个我也说不准，应该时1-1/n^2的连乘，因为从开始到最后的数字都是小于一的，所以越乘越小，n趋于无穷大时，也应该是0吧……