Question

求由曲线y=2-X^2 ，y=2X-1及X≥0围成的平面图形的面积S以及平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体的体积Vx

Answer 1

由曲线y=2-x²及直线y=2x-1,x=0围成的在y轴右边的区域D及D绕x轴旋转所得的旋转体

楼主的题目叙述不完整。应为：
求由曲线y=2-x²及直线y=2x-1,x=0围成的图形在y轴右边的区域D的面积及D绕x轴旋转所得的旋转体的体积。

解 曲线y=2-x²与直线y=2x-1在y轴右边的交点为(1,1),所以区域D的面积
A=∫<0→1>[(2-x²)-(2x-1)]dx
=∫<0→1>[3-x²-2x]dx
=[3x-x^3/3-x^2]<0→1>
=3-1/3-1
=5/3.

D绕x轴旋转所得的旋转体的体积:
Vx=π∫<0→1>(2-x^2)^2dx-π∫<1/2→1>(2x-1)^2dx
=π∫<0→1>(4-4x^2+x^4)dx-(π/2)∫<1/2→1>(2x-1)^2d(2x-1)
=π[4x-(4/3)x^3+x^5/5]<0→1>-(π/2)(2x-1)^3/3|<1/2→1>
=π[4-4/3+1/5]-(π/2)(1/3)
=27π/10.