Question

2010年数学压轴中考题

如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于C点，且经过点 ，对称轴是直线 ，顶点是 ．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过 两点作直线与 轴交于点 ，在抛物线上是否存在这样的点 ，使以点 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线 与y轴的交点是 ，在线段 上任取一点 （不与 重合），经过 三点的圆交直线 于点 ，试判断 的形状，并说明理由；
（4）当 是直线 上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．

是哪年的中考题

Answer 1

（2009•烟台）压轴题
（1）根据题意，得 （2分）
解得
∴抛物线对应的函数表达式为y=x2-2x-3．（3分）

（2）存在．
在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3．
令y=0，得x2-2x-3=0，
∴x1=-1，x2=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
又y=（x-1）2-4，
∴顶点M（1，-4）．（5分）
容易求得直线CM的表达式是y=-x-3．
在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．
∴N（-3，0），
∴AN=2．（6分）
在y=x2-2x-3中，令y=-3，得x1=0，x2=2．
∴CP=2，
∴AN=CP．
∵AN‖CP，
∴四边形ANCP为平行四边形，此时P（2，-3）．（8分）

（3）△AEF是等腰直角三角形．
理由：在y=-x+3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=3．
∴直线y=-x+3与坐标轴的交点是D（0，3），B（3，0）．
∴OD=OB，
∴∠OBD=45度．（9分）
又∵点C（0，-3），
∴OB=OC．
∴∠OBC=45度．（10分）
由图知∠AEF=∠ABF=45°，∠AFE=∠ABE=45度．（11分）
∴∠EAF=90°，且AE=AF．
∴△AEF是等腰直角三角形．（12分）

（4）当点E是直线y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论成立．（14分）

Answer 2

2009年山东省烟台市中考数学试题

Answer 3

晕 我最怕解析几何