求初中因式分解公式

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2011-03-26 · TA获得超过212个赞
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初中因式分解的常用方法(例题详解)

一、提公因式法.
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式, m既可以是一个单项式,也可以是一个多项式.
二、运用公式法.
运用公式法,即用

写出结果.
三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:
分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。
解:原式=
= 每组之间还有公因式!
=
思考:此题还可以怎样分组?
此类型分组的关键:分组后,每组内可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式可以提。
例2、分解因式:
解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组;
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解:原式= 原式=
= =
= =
练习:分解因式1、 2、

(二)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:
分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。
解:原式=
=
=
例4、分解因式:
解:原式=
=
=
注意这两个例题的区别!
练习:分解因式3、 4、

综合练习:(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9) (10)

(11) (12)

四、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式—— 进行分解。
特点:(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式:
分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3的分解适合,即2+3=5。 1 2
解: = 1 3
= 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式:
解:原式= 1 -1
= 1 -6
(-1)+(-6)= -7
练习5、分解因式(1) (2) (3)

练习6、分解因式(1) (2) (3)

(二)二次项系数不为1的二次三项式——
条件:(1)
(2)
(3)
分解结果: =
例7、分解因式:
分析: 1 -2
3 -5
(-6)+(-5)= -11
解: =
练习7、分解因式:(1) (2)
(3) (4)

(三)二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式:
分析:将 看成常数,把原多项式看成关于 的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解: =
=
练习8、分解因式(1) (2) (3)

(四)二次项系数不为1的齐次多项式
例9、 例10、
1 -2y 把 看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解:原式= 解:原式=
练习9、分解因式:(1) (2)

综合练习10、(1) (2)
(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9) (10)

思考:分解因式:
五、主元法.
例11、分解因式: 5 -2
解法一:以 为主元 2 -1
解:原式= (-5)+(-4)= -9
= 1 -(5y-2)
= 1 (2y-1)
= -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)
解法二:以 为主元 1 -1
解:原式= 1 2
= -1+2=1
= 2 (x-1)
= 5 -(x+2)
= 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)
练习11、分解因式(1) (2)

(3) (4)

六、双十字相乘法。
定义:双十字相乘法用于对 型多项式的分解因式。
条件:(1) , ,
(2) , ,
即:

, ,

例12、分解因式(1)
(2)
解:(1)
应用双十字相乘法:

, ,
∴原式=
(2)
应用双十字相乘法:

, ,
∴原式=
练习12、分解因式(1)
(2)

七、换元法。
例13、分解因式(1)
(2)
解:(1)设2005= ,则原式=
=
=
(2)型如 的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设 ,则
∴原式= =
= =
练习13、分解因式(1)
(2) (3)

例14、分解因式(1)
观察:此多项式的特点——是关于 的降幂排列,每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法:提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法。
解:原式= =
设 ,则
∴原式= =
= =
= =
=
(2)
解:原式= =
设 ,则
∴原式= =
= =
练习14、(1) (2)
八、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式(1)
解法1——拆项。 解法2——添项。
原式= 原式=
= =
= =
= =
= =
(2)
解:原式=
=
=
=
练习15、分解因式(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

九、待定系数法。
例16、分解因式
分析:原式的前3项 可以分为 ,则原多项式必定可分为
解:设 =
∵ =
∴ =
对比左右两边相同项的系数可得 ,解得
∴原式=
例17、(1)当 为何值时,多项式 能分解因式,并分解此多项式。
(2)如果 有两个因式为 和 ,求 的值。
(1)分析:前两项可以分解为 ,故此多项式分解的形式必为
解:设 =
则 =
比较对应的系数可得: ,解得: 或
∴当 时,原多项式可以分解;
当 时,原式= ;
当 时,原式=
(2)分析: 是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如 的一次二项式。
解:设 =
则 =
∴ ,解得 ,
∴ =21
练习17、(1)分解因式

(2)分解因式

(3)已知: 能分解成两个一次因式之积,求常数 并且分解因式。

(4) 为何值时, 能分解成两个一次因式的乘积,并分解此多项式。
百度网友06a992b
2011-03-24 · TA获得超过687个赞
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三种
一是平方差的 例如 a^2-b^2
二是完全平方 a^2+b^2+2ab 或 a^2+b^2-2ab
三直接分解 这就没什么好说的了 把公因式提出来就可以了额
LZ要好好看题的 有些可以用公式的会用些括号让你很难辨别
如(X-Y)^2+10(X-Y)(A+B)+5(A+B)^2
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百度网友fba3d7f
2011-03-24 · TA获得超过2738个赞
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1.提起公因式法
2.公式法
平方差公式a^-b^2=(a+b)(a-b)
完全平方公式a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
3.十字相乘法
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匿名用户
2011-03-28
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[A-B][A+B]=AA-BB
[A+B][A+B]=AA+2AB+BB
[A-B][A-B]=AA-2AB-BB
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