Question

数学竞赛问题及答案

Answer 1

..我有江西赛区今年初中的
一. 选择题（每小题 分，共 分）
、设 为质数，并且 和 也都是质数，若记 ，
则在以下情况中，必定成立的是（ ）．
、 都是质数； 、 都是合数；
、 一个是质数，一个是合数； 、对不同的 ，以上各情况皆可能出现．
答案： ．
解：当 时， 与 皆为质数，而 ，
都是质数；
当质数 异于 时，则 被 除余 ，设 ，于是 ，
，它们都不是质数，与条件矛盾！
、化简 的结果是（ ）．
、 ； 、 ； 、 ； 、 ．
答案： ．
解： ；
，
因此，原式 ．
、 的末位数字是（ ）．
、 ； 、 ； 、 ； 、 ．
答案：
解： 的末位数字按 的顺序循环，而 的末位数字按 的顺序循环，
因为 是 形状的数，所以 的末位数字是 ，而 的末位数字是 ，
所以 的末位数字是 ．
、方程 的解的情况是( ).
、无解； 、恰有一解； 、恰有两个解； 、有无穷多个解．
答案： .
解：将方程变形为 … ①，分三种情况考虑，
若 ，则①成为 ，即 ，得 ；
若 ，则①成为 ，即 ，得 ；
若 ，即 时，则①成为 ，即 ，这是一个恒等式，满足 的任何 都是方程的解，结合以上讨论，可知，方程的解是满足 的一切实数，即有无穷多个解．
、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中全体正三角形的个数是（ ）．
、 ； 、 ； 、 ； 、 ．
答案： ．
解：分类计算：设正六边形的边长为 ，那么，边长为 的正三角形有 个，边长为 的正三角形有 个，边长为 的正三角形有 个，
共计 个．
、设 为整数，并且一元二次方程 有等根 ，
而一元二次方程 有等根 ；
那么，以 为根的整系数一元二次方程是（ ）．
、 ； 、 ；
、 ； 、 ．
答案： ．
解：由两个方程的判别式皆为 ，有 ，以及
，即：
以及 ，消去 得， ，其整根为 ，
于是 ；因此两个方程分别是： 及 ，
前一方程的等根为 ，后一方程的等根为 ，易得，以 为根的整系数一元二次方程是 ．
二、 填空题（每小题 分，共 分）
、直角三角形 的三条边长分别为 ，若将其内切圆挖去，则剩下部分的面积等于 ．
答案： ．
解： 的面积为 ，又设其内切圆的半径为 ，则由
，所以 ，因此内切圆面积为 ，故剩下部分的面积为 ．
、若 ，
则 （ ）．
答案：（ ）．
解：
，
由 ， ， ，解得， ；
因此 ．
、如图，正方形 的边长为 ， 是 边外的一点，满足： ‖ ， ，
则 ．
答案： ．
解: ，设 ，则 ， ，
，由 ∽ ，得 ，
即有 ，所以 ， ，则 ，
再由 ，即 ，所以 ．
、绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自 之中（每一个数都可以多次出现在圆周上），若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是 的倍数，用 表示圆周上所有十二个数的和，那么数 所有可能的取值情况有 种．
答案： 种．
解：对于圆周上相邻的三个数 ， 可以是 ，或 ，或 ，例如，当三数和为 时， 可以取 或 或 ；又对于圆周上任意相邻的四数，若顺次为 ，由于 和 都是 的倍数，那么必有 ，于是 与 或者相等，或者相差 ；
又在圆周上， 与 可互换， 与 可互换；现将圆周分成四段，每段三个数的和皆可以是 ，或 ，或 ，因此四段的总和可以取到 中的任一个值，总共九种情况．
（其中的一种填法是：先在圆周上顺次填出十二个数： ，其和为 ，然后每次将一个 改成 ，或者将一个 改成 ，每一次操作都使得总和增加 ，而这样的操作可以进行八次）．

第 二 试

一、（ 分）试确定，对于怎样的正整数 ，方程 有正整数解？并求出方程的所有正整数解．
解：将方程改写为 ， …………5’
由于 表成两个正整数的平方和，只有两种不同的形式： ……10’
所以，
… ①，或 … ②
… ③，或 … ④ …………15’
由①得 （当 或 ）；由②得 （当 或 ）；
由③得 （当 或 ）； 或 （当 或 ）；
由④得 （当 ）；或 （当 或 ）． …………20’
二、（ 分）锐角三角形 的外心为 ，外接圆半径为 ，延长 ，分别与对边 交于 ；证明： ．
证： 延长 交 于 ，由于 共点 ，
…………5’
则 … ① …………10’
而 ，…………15’
同理有,
， …………20’
代入①得， … ②
所以 ． …………25’

三、（ 分）设 为正整数，证明：
1、如果 是两个连续正整数的乘积，那么 也是两个连续正整数的乘积；
2、如果 是两个连续正整数的乘积，那么 也是两个连续正整数的乘积．
证明：1、如果 是两个连续正整数的乘积，设 ，其中 为正整数，……5’则 为两个连续正整数的乘积； …………10’
2、如果 是两个连续正整数的乘积，设 ，其中 为正整数，则 … ① …………15’
于是， 是 的倍数，且 是奇数；设 ，由①得，
… ② …………20’
因此，
，即 ，它是两个连续正整数的乘积．……25’