Question

高一数列。设数列｛an｝满足an+1/an=n+2/n+1，且a1＝2

1．求数列an的通项公式。2．设bn＝an／2＾n，数列｛bn｝的前n项和为。要有详细过程！

Answer 1

1、a(n+1)/an=(n+2)/(n+1)
a(n+1)/(n+2)=an/(n+1)
设cn=an/(n+1) 则c(n+1)=a(n+1)/(n+2)，且c1=a1/(1+1)=1
即c(n+1)=cn=......=c1=1
故an/(n+1)=1
an=n+1
2、因bn=an/2^n=(n+1)/2^n
设数列｛bn｝的前n项和为Tn
Tn=b1+b2+....+bn
=2/2+3/2^2+....+(n+1)/2^n
2Tn=2/1+3/2+4/2^2+...+(n+1)/2^(n-1)
后式减前式：Tn=2+1/2+1/2^2+.....+1/2^(n-1)-(n+1)/2^n
=2+(1/2)[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)-(n+1)/2^n
=3-1/2^(n-1)-(n+1)/2^n
=3-(n+3)/2^n

Answer 2

1)a(n+1)/(n+2)=a(n)/(n+1)
设b(n)=a(n)/(n+1) 则b(n+1)=a(n+1)/(n+2)
易知b(n+1)-b(n)=0
b(n)=1,所以a(n)=n+1
2)Sn=b1+b2+....+bn
=a1/2+a2/4+....+an／2＾n
用错位相减法：结果=3-（n+3）/2^n

Answer 3

1、由已知得an/an-1=(n+1)/n，an-1/an-2=n/(n-1)……a2/a1=3/2。
将以上各式左右分别全部相乘，得an/a1=(n+1)/2，由a1=2，得an=n+1
2、Sn为bn前n项和，Sn=(1/2)^n *(n+1)+……+(1/2)*(1+1)，Sn*（1/2）=(1/2)^(n+1) *(n+1)+(1/2)^n *n，得Sn－Sn*(1/2)=－(1/2)^(n+1) *(n+1)+(1/2)^n+(1/2)^(n-1)+……+(1/2))，
得(1/2)*Sn=(1/2)－(1/2)^(n+1) *(n+1)+(1－(1/2)^n)/4，可得出Sn。
注：计算过程比较粗略，未经验算不一定准确，计算的思路是一定的，即求数列cn=an*bn之和Sn，其中an为等差数列，bn为等比数列，均可用Sn-q*Sn的化简方法，略去中间不可求和项，实现求和的终级目标，呵呵～～～