Question

求一道高数证明题

方程x^3-3x+1=0,在区间（0，1）内，为什么有唯一实根，这题该怎么证明？？

Answer 1

首先用零点存在定理证明该方程有实根，然后利用单调性证明只有一个实根，证明如下：
设f(x)=x^3-3x+1,则可以知道f(x)在闭区间[0,1]连续
且f(0)=1，f(1)=-1，故f(0)f(1)<0
由闭区间上连续函数的零点存在定理可以知道存在一点c使得f(c)=0，即c为方程的实根
又函数f(x)的导数为3x^2-3>=0，即函数f(x)是单调增加的，故点c是方程的唯一实根。

Answer 2

令 f(x)=x^3-3x+1 有 f(x)→-∞，x→-∞; f(0)>0;f(1)<0;f(x)→+∞，x→+∞; 由连续函数的介值定理，及代数基本定理（即这个方程最多有3个实根），知原方程在（-∞，0），（0,1），（1，+∞） 分别有一根

Answer 3

可以先设f（x）=x^3-3x+1，0<x<1然后对其求导得f‘（x）=3x^2-3=3（x+1)(x-1）
所以函数f（x）在0到1单调递减（*）
当x=0时f（x）=1；当x=1时，f（x）=-1
所以f（x）在（0，1）内有且只有唯一一个实根，
即方程x^3-3x+1=0,在区间（0，1）内有唯一实根。
说明：这只是利用的高中的知识，（*）处只取的（0，1）这段区间，根据求导后的那个式子可以得到的是f（x）在负无穷到-1递增，-1到1递减，1到正无穷递增的。

Answer 4

1、一道高数证明题：
这第32题证明解答过程见上图。
2、这道高数证明题，用泰勒公式可以证明。
3、32高数题证明时，先在x处进行泰勒公式，然后取0，1得两个式子。再相减后的式子方放大，就可以证明得出。
具体的这道高数证明的详细步骤见上。