Question

谁来帮我解答一下这道数学？谢谢大家了

已知函数f(x)=x^3+2bx^2+cx+1有两个极值点x1,x2，且x1∈[-2，-1]，x2∈[1，2]，则f(-1)的取值范围是？

这是道选择题
A[-3/2，3]
B[3/2，6]
C[3，12]
D[-3/2，12]

不过我希望能知道详细解答步骤，谢谢大家了！！

Answer 1

对f(x)求导，得f(x)'=3x^2+4bx+c，则f(x)'=3x^2+4bx+c=0与x轴的两个交点应为x1和x2
x1∈[-2，-1]，x2∈[1，2],结合图像可知
f(-2)'=12-8b+c≥0；
f(-1)'=3-4b+c≤0；
f(2)'=12+8b+c≥0；
f(1)'=3+4b+c≤0；
以上4式可以得到b和c的范围，
综合可得f(-1)=2b-c∈[3/2，6]
即选B

Answer 2

f'(x)=2x^2+4bx+c
由题意可得：f'(-2)>=0,f'(-1)<=0,f'(1)<=0,f'(2)>=0
即c+12-8b>=0,c+3-4b<=0,c+3+4b<=0,c+8b+12>=0
以b为横轴，c为纵轴做出可行域
f(-1)=2b-c
当直线f(-1)=2b-c经过(0,-12)时，f(-1)取到最大值12；经过（0，-3）时，取到最小值3

Answer 3

先求导，得二次函数，利用近似根确定b,c关系得到答案

追问

怎么利用近似根关系呢？能不能再详细点？

追答

如f‘(-2)*f‘(-1）<0