Question

求解一道考研题高数一

关于对坐标求曲面积分，I=被积函数{（2x+z）dydz+zdxdy}，其中S为有向曲面z=x^2+y^2(0<=z<=1)其法向量与z轴正向夹角为锐角。计算曲面积分
答案中S在yOx面上的投影为D，为z=y^2，z<=1
所以被积函数{（2x+z）dydz}=被积函数(2（z-y^2）^1/2+z)(-dydz)+被积函数（-2（z-y^2）^1/2+z）dydz=...=-圆周率
这里我就看不懂了，怎么这里是 被积函数{（2x+z）dydz}=被积函数(2（z-y^2）^1/2+z)(-dydz)+被积函数（-2（z-y^2）^1/2+z）dydz

Answer 1

①. ∫(2x + z)dydz 中 在dydz平面，要置换 x＝±√(z-y²)，z保留，
所以＝∫(2√(z-y²)+z)(-dydz) 至于 (-dydz) 中符号是因为区域S取后侧方向；
②. 后半部分( + dydz) ，虽然你省略了正号，注意x中有±的，表示曲面分前半部分和后半分的，分开计算而已；上面①. 中取正号表示前半部分取后侧方向；这里②.取后半部分，但S超前方向。
这类题目其实最好用“高斯公式”做，但特别注意两点：
1. 因为曲面 上面没有封顶，所以要减去一个顶，看例题吧
2. 高斯公式中是取外侧方向为正的，方向问题要明确！
请原谅我打击你(忠言逆耳，可想你不会高兴的)：先把教材通读一遍，必然进步神速