Question

高中数学 如图第四题 求解 需要过程

Answer 1

由题设知，N(2n)＝N(n)，N(2n－1)＝2n－1.又S(1)＝N(1)＋N(2) ＝2.
S(3)＝[N(1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)]
＝[1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)] ＝4²＋S(2)＝4²＋4¹＋S(1)＝4²＋4¹＋2＝22.
S(n)＝[1＋3＋5＋„＋(2ⁿ－1)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋„＋N(2n)]
＝[1＋3＋5＋„＋(2ⁿ－1)]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋„＋N(2n－1)]，
∴S(n)＝4ⁿ﹣¹＋S(n－1)(n≥2)，
∴S(n)＝4ⁿ﹣¹＋4ⁿ﹣²＋„＋4¹＋2＝(4ⁿ+²)／3

追问

看不懂 能不能讲一下

追答

由题设知，S(3)＝[N(1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)]
＝[1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)]．
由此能求出S （3）．由题意当n∈N*时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，利用此定义有知道：N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N （4）=1，N（5）=5，N（6）=3，N（7）=7，N（8）=1，N（9）=9，N（10）=5，…从写出的这些项及S（n）=N（1）+N（2） +N（3）+…N（2n）利用累加法即可求得
就是像2，4，6，8，10·····都可以变为1、2、3、4、5、·····然后又有2，4，6····
S(n)＝[1＋3＋5＋„＋(2ⁿ－1)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋„＋N(2n)]
＝[1＋3＋5＋„＋(2ⁿ－1)]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋„＋N(2ⁿ﹣¹)]，
∴S(n)＝4ⁿ﹣¹＋S(n－1)