Question

初三几何题，关于圆的（两道）急！

1.如图，已知CD是三角形ABC中AB边上的高，以CD为直径的圆分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点，求证：GE是圆的切线。

2.如图，点P为三角形ABC的内心，延长AP交三角形ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD的平方=AB×AE，求证：DE是圆的切线.

Answer 1

(1)
证：
连接DE，因为CD是直径，E在圆上，所以角CED=90度，即DE垂直AC。
所以三角形AED是直角三角形，又EG是斜边中线，所以EG=AG=GD。
连接GO，因为GE=GD，OE=OD，GO是公共边，
所以三角形GEO和三角形GDO三条边对应相等，两个三角形全等。
于是角GEO=角GDO=90度，即GE垂直OE，所以GE是圆O的切线。

(2)
证：
因为P是三角形ABC的内心，所以P是三条角平分线的交点。
因此DA平分角BAC，即有角BAD=角DAE
又因为AD^2 = AB*AE
所以AB/AD = AD/AE。
在三角形ABD和ADE中，两边对应成比例且夹角相等，
所以两个三角形相似。
因此角ABD=角ADE
因为角ABD在圆上对应弧ACD，所以角ADE是弦切角，DE与圆O相切于D。
即DE是圆O的切线。

希望有用，谢谢采纳 ^_^

Answer 2

(1)
证：
连接DE，因为CD是直径，E在圆上，所以角CED=90度，即DE垂直AC。
所以三角形AED是直角三角形，又EG是斜边中线，所以EG=AG=GD。
连接GO，因为GE=GD，OE=OD，GO是公共边，
所以三角形GEO和三角形GDO三条边对应相等，两个三角形全等。
于是角GEO=角GDO=90度，即GE垂直OE，所以GE是圆O的切线。

(2)
证：
因为P是三角形ABC的内心，所以P是三条角平分线的交点。
因此DA平分角BAC，即有角BAD=角DAE
又因为AD^2 = AB*AE
所以AB/AD = AD/AE。
在三角形ABD和ADE中，两边对应成比例且夹角相等，
所以两个三角形相似。
因此角ABD=角ADE
因为角ABD在圆上对应弧ACD，所以角ADE是弦切角，DE与圆O相切于D。
即DE是圆O的切线。

Answer 3

设两直角边分别为A,B
则AB=4√3
A+B+√(A²+B²)=6+2√3
解得(实际为猜得)A=2,B=2√3
斜边=√(A²+B²)=4
斜边为直径，圆心在斜边上
外接圆的半径=斜边/2=2

△PAN中，∠P=∠ANB-∠PAN<∠ANB
∠ANB=∠M=50°（同弦圆周角）
∴∠P<50°