Question

椭圆方程

已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上,离心率为√3 /2，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，圆C:x^2+y^2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圆心为点A
(1)求椭圆G的方程
(2)△AF1F2的面积
(3)是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由

Answer 1

设椭圆方程为：x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0,因）
e=√3/2,即：c/a=√3/2，(a²-b²)/a²=3/4,a²=4b²

第一种情况：P(0,3/2)在椭圆上
又由于椭圆中心在原点，且焦点在X轴上，点P（0，3/2)在椭圆上
所以b=3/2,b²=9/4,a²=9
椭圆方程为：x²/9 + y²/（9/4)=1

第二种情况：P（0，3/2)不在椭圆上（注：解出的b应该小于3/2）
x²/a²+y²/b²=1 ，即x²/4b²+y²/b²=1,x²+4y²=4b²,x²=4b²-4y²
设椭圆上距离P的最远点的坐标是（x,y)，则有：
（x-0)²+(y-3/2)²,把x²=4b²-4y²代入，整理可得：
4b²-3（y²+y)+ (9/4),4b²是定值，-3（y²+y)是开口向下的二次函数，
显然最大值在y=-1/2处取得，为7，y=-1/2时，4b²-3（y²+y)+ (9/4)=7
解得：b²=1(符合b<3/2)，a²=4b²=4
椭圆方程为：x²/4+ y²=1
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