求幂级数x^n/(2n-1)的和函数,在线等! 10
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解:∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=1,∴幂级数收敛域为x∈[-1,1)。
设y=x^(1/2),则x=y^2,(x^n)/(2n-1)=[y^(2n)]/((2n-1)=y[y^(2n-1)]/(2n-1)。
再设S=∑[y^(2n-1)]/(2n-1)(n=1,2,……),两边对y求导,在其收敛域内,有S'=∑[y^(2n-2)]=1/(1-y),∴S=C-ln(1-y)。又,在其收敛域内,对任意y均成立,令y=0,有C=0,
∴幂级数x^n/(2n-1)的和=-(√x)ln(1-√x)。供参考。
设y=x^(1/2),则x=y^2,(x^n)/(2n-1)=[y^(2n)]/((2n-1)=y[y^(2n-1)]/(2n-1)。
再设S=∑[y^(2n-1)]/(2n-1)(n=1,2,……),两边对y求导,在其收敛域内,有S'=∑[y^(2n-2)]=1/(1-y),∴S=C-ln(1-y)。又,在其收敛域内,对任意y均成立,令y=0,有C=0,
∴幂级数x^n/(2n-1)的和=-(√x)ln(1-√x)。供参考。
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