等比数列前n项和
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
注：q=1时，an为常数列。即a^n=a。
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。注：q=1时，an为常数列(n为下标）。
.前n项和公式
若数列｛an｝是公比为q的等比数列，则它的前n项和公式是
也就是说，公比为q的等比数列的前n项和是q的分段函数，分段的界限在q=1处.
当q≠1时，求等比数列前n项和Sn的方法一般是利用Sn的表达式的特点，首先在Sn=a1+a1q+…+a1qn-1两边同乘以该数列的公比q，使得等式右边各项都向右错了一位；然后通过求Sn-qSn把相同的项消去，达到简化的目的；最后从中解出Sn.这种方法(俗称“错位相减法”)很巧妙，而且对这类数列的求和具有普遍性，应该很好地掌握它.
求等比数列前n项和的方法还有一些，下面再介绍其中的一种：
当q=1时，Sn=na1
当q≠1时，
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1
=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1)-a1qn
=a1+q·Sn-a1qn
=a1(1-qn)+q·Sn
∴(1-q)Sn=a1(1-qn),
∴Sn=.
在具体运用等比数列前n项和公式时如果考虑不周常会出错.例如，求和：1+x+x2+…+xn，认为其和为是错误的.
【重点难点解析】
本节重点是等比数列前n项和公式及其应用.难点是求和公式的推导.等比数列前n项和公式要注意对公比q进行讨论，分q=1和q≠1两种情况.求等比数列前n项和的思想和方法在求一些特殊数列的前n项和中经常运用到.
例1 设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若
S3+S6=2S9，求公比q的值.
分析 本题主要考查等比数列求和公式的基础知识，逻辑推理能力和运算能力.在求解中要全面考虑公式q=1和q≠1两种情况，否则就会造成失误.
解法一：若q=1，则S3+S6=3a1+6a1=9a1≠2S9,
所以q≠1.依等比数列前n项和公式有
+=,
整理得q3(2q6-q3-1)=0.
因为q≠0，所以2q6-q3-1=0,
(q3-1)(2q3+1)=0.
因为q≠1，所以q3≠1,所以q3=-，
q=-=-.
解法二：因为S3+S6=2S9，所以
2(a1+a2+a3)+a4+a5+a6=2(a1+a2+a3+…+a9),
此即-(a4+a5+a6)=2(a7+a8+a9)，
-(a4+a5+a6)=2q3(a4+a5+a6)，
由此解得q3=-,q=-.
评析 在对等比数列前n项和公式的运用中，要注意充分运用整体代入的方法，如解法二中就利用了a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)这一性质，使运算量减少，也避免了q的讨论.
例2 设等比数列的首项为a(a＞0)公比为q(q＞0)，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q.
解：由Sn=80,S2n=6560,故q≠1
化简得
∴有③
知
∵a＞0，q＞1，等比数列递增数列，故前n项中最大项为an.
∴an=aqn-1=54 ④
将③代入①化简得a=q-1 ⑤
化简得3a=2q ⑥
由⑤，⑥联立方程组解得a=2,q=3
例3 等比数列｛an｝的前n和等于2，紧接其后的2n项和等于12，再紧接其后的3n项和为S，求S.
分析 本题主要考查等比数列前n项和公式的应用.本题实际为已知Sn=2，S3n-Sn=12，要求S6n-S3n的值.由等比数列知，前n项成等比数列，紧接其后的2n项也成等比数列，再紧接的3n项也成等比数列，可分别求和列方程.
解：在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.设前n项和为S1，第2个n项和为S2=S1q，
由②式得q+q2=6，所以q=2或q=-3.
将q=2代入③式得S=112，将q=-3代入③式得S=-378.
例4 求数列1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…(a≠0)的前n项和Sn.
分析 要求数列前n项的和，必须先求出数列的通项公式.
解：据题设条件分析可知：
an=an-1+an+an+1+…+a2n-2
①当a=1时，an=n,∴Sn=.
②当a≠1时，Sn==-.
(1)当a≠±1时，Sn=［-］
=［(1-an)(1-an+1)］
(2)当a=-1时，Sn=［+n］
评析 ①由于通项公式本身是一个等比数列的求和，而公比是字母a，故必须分两种情况(a=1及a≠1)来讨论.
②在进一步求和时，由于又出现公比为a2的等比数列求和，故又得分a2=1及a2≠1来讨论，由于a=1已讨论，因此本题应分a=1，a=-1，a≠±1三种情况来讨论.
【难题巧解点拨】
例1 设等比数列｛an｝的公比与前n项和分别为q与Sn，且q≠1,S10=8.求的值.
分析 一个条件不能确定a1与q.不妨将S10与S20用a1、q表示出来，进行对比，兴许有点门道.
解：∵=8,
∴==8.
评析 一些数列问题中的基本量难以确定或不能确定时，不妨设而不求，整体代换.其实，本题尚有以下巧解：
S20=S10+a11+a12+…+a20
=S10+q10S10=S10(1+q10),
故=S10=8.
例2 设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，求证：S2n+S22n=Sn(S2n+S3n).
分析 从整体结构入手，寻找Sn、S2n、S3n之间的关系，作差计算，不仅简便，而且求解过程完备.
解：设｛an｝的公比为q,则
S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn)
S3n=Sn+qnSn+q2nSn=Sn(1+qn+q2n)
∴S2n+S22n-Sn(S2n+S3n)
=S2n+S2n(1+qn)2-S2n［(1+qn)+(1+qn+q2n)］
=S2n+S2n(1+qn)2-S2n［1+(1+qn)2］
=0
∴S2n+S22n=Sn(S2n+S3n).
评析 本题的结论是等比数列的又一性质：(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.
例3 已知数列｛an｝满足条件：a1=1,a2=r(r＞0)，且｛anan+1｝是公比为q(q＞0)的等比数列.设bn=a2n-1+a2n，求数列｛bn｝的前n项和Sn.
分析 =q=q=q.
解：∵=q ∴an+2=anq，
∴===q,
且q≠0,b1=1+r≠0
∴｛bn｝是首项为1+r，公比为q的等比数列，
评析 解题的关键是等比数列｛bn｝的发现，只要紧抓等比数列的定义来分析，就能使隐含着的条件显露出来，促成问题的快速解决.
希望能帮到你，满意望采纳哦。
a1=1，a4=1x(q)^(4-1)=1/8
解：q=1/2
所以首项为1，公比为1/2的等比数列，
sn=(1-1/2^n)/(1-1/2)
所以带入sn公式可得sn=[1(1-1/2^10)]/(1-1/2)=2-1/512=1023/512
