Question

定积分分部积分过程，求大神指点

Answer 1

∫a^xe^xdx
=∫a^xde^x
=a^xe^x-∫e^xa^xlnadx
=a^xe^x-lna∫a^xe^xdx
(1+lna)∫a^xe^xdx=a^xe^x
∫a^xe^xdx=a^xe^x/(1+lna)

∫xe^(ax)dx
=1/a∫xde^(ax)
=1/axe^(ax)-1/a∫e^(ax)dx
=1/axe^(ax)-1/a^2e^(ax)+C
=e^(ax)(1/a-1/a^2)+C
=e^(ax)(a-1)/a^2+C

∫e^(ax)sinxdx
=-∫e^(ax)dcosx
=-e^(ax)cosx+∫cosxde^(ax)
=-e^(ax)cosx+a∫cosxe^(ax)dx
=-e^(ax)cosx+a∫e^(ax)dsinx
=-e^(ax)cosx+ae^(ax)sinx-a∫sinxde^(ax)
=e^(ax)(asinx-cosx)-a^2∫e^(ax)sinxdx
(1+a^2)∫e^(ax)sinxdx=e^(ax)(asinx-cosx)
∫e^(ax)sinxdx=[e^(ax)(asinx-cosx)]/(1+a^2)+C