Question

这两个题为什么要用局部保号性这个性质 如第一个 已经求出f（x）在x-＞∞时为1/2

这两个题为什么要用局部保号性这个性质 如第一个 已经求出f（x）在x-＞∞时为1/2 也就是 |f（x）|≤1/2 这不就是有界了吗 直接得出结论不就行了吗 用保号性性质干嘛 还有下面这个 知道f（x）≥0 不就是原函数递增吗 那F(b)-F(a)肯定大于0啊 题目中也用了保号性 为什么

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Answer 1

1、当x→+∞的时候，f（x）→1/2，不代表|f（x）|＜1/2，因为没有说f（x）是单调递增的，没有说当x＞0的时候，x越大，函数值越大。所以你直接从x→+∞的时候，f（x）→1/2是无法推导出|f（x）|＜1/2的。所以必须要用局部保号原则，证明当x大于某个正数K后，都是有界的。而0到K之间，是闭区间内连续函数，也是有界的。所以函数整体有界。
2、简单的说，我们都知道有连续可导函数f（x），如果f'（x）≥0，则f（x）是单调增函数。但是为什么能得出这个结论呢？有什么证明吗？我们只管用，不管证明。但是其证明其实就是用例7.8的性质来证明的。所以如果用单调增函数的性质来证明，就等同于自我证明了。

追问

如你所说 x-＞∞时f(x)趋近于1/2 并不能说明所有的值都是≤1/2的 但是一定都是小于1的吗？ 题目中对保号性的应用 谁知道f(x)的上界是多少

追答

不是说一定小于1，而是用局部保号性，得到当x大于某个正数k，这个正数k是多少，不知道，但是必然有，大于这个正数的时候，小于1。而在0到k之间，是闭区间内连续的函数，必然有界。至于这段的界是100还是10000或者是1亿，不知道，也无需理会，反正必然有界就是了。

追问

还有第二题 就是第三幅图里那一系列的不等式怎么得出来的

追答

这个部分是因为a＜x0-δ＜x0+δ＜b

所以区间[x0-δ，x0+δ]是区间[a，b]的一部分

因为f（x）非负，所以部分区间的定积分必然不大于整体区间的定积分。

这个部分是因为根据局部保号性，在[x0-δ，x0+δ]区间内都有f（x）≥η

所以在该区间f（x）的定积分大于等于常数函数η在该区间的定积分。

Answer 2

高数的证明很多时候就是说废话
7.7极限1/2只能说明x足够大时有界，不能说明x不足够大时是否有界，用保号性把整个R+分成两部分分别证明
7.8题目给的是非负，只能说明原函数F(x)单调不减，你可以试着用f(x)不恒等于0条件，用严格单调性证明一下，应该不容易说清楚

追问

但是他为什么取了上界为1 谁知道f(x)的上界是多少

第二个题 如果改成f(x)在区间上只有1个0点的话 能不能直接用单调递增做这个题

追答

用的是|f(x)-1/2|<ε，然后取ε=1/2

不知道，【说明】很容易，我也不知道该怎么用严格单调【证明】