Question

小船在静水中的航速为v1=4m/s,要它横渡直径为200米宽的河流，河水速度为v2=2米/s

若使小船渡河时间最短，船头指向什么方向，渡河最短时间是多少？若使小船过河位移最短，过河时间是多少？

Answer 1

河水流动只提供纵向（顺着河流方向）的速度。若要使渡河时间最短，应该以最大的横向（垂直于河流方向）速度过河。所以应该使船头垂直于河岸。这样横向速度能达到最大的4m/s，渡河时间就是200m÷4m/2=50s。这时候虽然船头垂直于河岸，但实际运动方向要用速度合成来考虑，所以实际渡河的轨迹是与河岸垂线有一个夹角的。但是这种情况下的横向速度能达到最大，所以是渡河时间最短的情况。
而如果要使位移最短，当然垂直于河岸是最短的，最短距离就是河的宽度。在本题中船速比水速要快，所以垂直渡河是可以实现的。可以用船速的一个分量抵消河水的流速，剩下的部分用来提供横向过河的速度。这样船本身应当提供2m/s指向上游的速度，才能抵消水流。而船的速度为4m/s，很容易知道船头偏向上游，与河岸的夹角为60°，或者与河岸垂线的夹角为30°。合成之后的合速度为4*sin(60°)=2√3(m/s)。所以过河时间为200÷2√3=100/√3(s)。