Question

如图，在Rt△ABC中，△ACB=90 ，CD⊥AB于点D，分别以AC、BC为边向三角形外作等边三角形△ACE和等边△BCF，

DE、DF，试说明△ADE ∽△CDF

Answer 1

∠ACB=90° ，CD⊥AB，
∴△ACB∽△ADC,
∴AC/AD=BC/CD,
又△ACE,△BCF是等边三角形，
∴AE/AD=CF/CD,
∠DAE=60°+∠DAC=60°+∠BCD=∠DCF,
∴△ADE ∽△CDF。

Answer 2

在直角△ABC中 ∵CD⊥AB 易证 ∠CAD=∠BCD=90-∠ACD
∴△ ABC∽△ACD
∴ AC:AD=BC:CD
∵△ACE和△BCF是等边△
∴AC=AE BC=CF ∠CAE=∠BCF=60°
∴ AE:AD=CF:CD
∵∠CAE=∠BCF ∠CAD=∠BCD∴ ∵∠CAE +∠CAD=∠BCF + ∠BCD
即 ∠EAD=∠DCF
∵AE:AD=CF:CD
∵ ∠EAD=∠DCF ∠EAD=∠DCF
∴ △ADE ∽△CDF