Question

已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12. (1)求f(x)的解析式 (2

主要是第二问，第一问会的
已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12.
(1)求f(x)的解析式
(2)是否存在实数m,使得方程f(x)+37/x=0在区间(m,,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
请注意，m是实数，不是自然数

Answer 1

1.
∵f(x)是二次函数，f(x)＜0的解集是（0，5）

∴可设f(x)=ax(x－5) （a＞0）

因为f(x)图象的对称轴为x=5/2 ,

∴f(x)在区间[-1，4]上的最大值是f(-1)=6a,

由已知得6a=12,∴a=2

∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x (x∈R)

2.
方程f(x)+ 37/x=0等价于方程2x^3-10x^2+37=0

设h(x)= 2x3-10x2+37.
则h'(x)=6x2-20x=2x(3x-10)

当x∈(0, 10/3) 时, h'(x)＜0,h(x)是减函数,

当x∈(10/3 ,+∞) 时, h'(x)＞0,h(x)是增函数,

∵h(3)=1＞0，h( 10/3)=-1/27 ＜0，h(4)=5＞0

∴方程h(x)=0在区间(3,10/3 )，(10/3 ,4)内分别有唯一实数根，

而在区间（0，3），（4，+∞)内没有实数根。

∴存在唯一的自然数m=3，使得方程f(x)+37/x =0 在区间（m,m+1）内有且只有两个不同的实数根。

追问

我这道m是实数，不是自然数。自然数的网上有答案。呵呵，帮忙再看看

Answer 2

(1)f(x)=2x∧2-10x

（2） f(x)+37/m=2(x-5/2)∧2-25/2+37/m.
要使在（m，m+1）内有两个不同的解，则需要：
f（m)=2m∧2-10m+37/m>0
f(m+1)=2m∧2-6m-8+37/m>0
m<X0=5/2<m+1 ③
f(5/2)=-25/2+37/m<0 ④
由③、④解得不等式矛盾，所以不存在这样的m

追问

不好意思，原题是
(2)是否存在实数m,使得方程f(x)+37/x=0在区间(m,,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
帮帮忙了，谢谢

追答

上边已经有详细解答了

Answer 3

解：(1)∵二次不等式f(x)<0的解集是(0,5)，∴方程f(x)=0的根是x1=0，x2=5，且二次函数f(x)图像开口向上，与x轴的交点是(0,0)、(5,0)，对称轴为x=5/2
∴可设f(x)=ax(x-5)，a>0
又∵f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12，对称轴为x=5/2
结合图像可知：当x=-1时，f(x)取到最大值12，∴12=a×(-1)×(-1-5) ∴a=2
∴f(x)=2x(x-5)
(2)假设存在符合题意的实数m，使得方程2x²-10x+37/m=0在区间(m,,m+1)内有且只有两个不等的实数根，则可得：①△=b²-4ac=100-4×2×37/m>0 ②对称轴x=5/2∈区间(m,m+1)
③f(m)>0且f(m+1)>0 ，由以上三式共同可得：m无解，所以不存在。