Question

求下列微分方程满足初始条件的特解 y〃-3y′²=0,y(0)=0,y′(0)=－1

大一高数，做对追分，急~~~~

Answer 1

解：可看做不显含y型
记y'=dy/dx=p,则y"=p'
则 y〃-3y′²=0可化为
p'-3p²=0
分离变量
dp/p²=3dx
两边积分
∫dp/p²=3∫dx
得到-1/p=3x+c1
即p=dy/dx=-1/(3x+c1)
分离变量,两边积分,凑微
∫dy=-∫dx/(2x+c1)=-(1/3)∫d(x+c1)/(3x+c1)
得到y=-(1/3)ln|3x+c1|+c2
初值条件y(0)=0,y'(0)=-1
得到-(1/3)lnc1+c2=0,-1/c1=-1
解得c1=1,c2=0
特解为
y=-(1/3)ln|3x+1|

Answer 2

设y'=f(x ) 则 y''=f'(x) f'(x)=3f2(x） ， f'(x)/f2(x）=3 (1/f(x)'=-3 1/f(x）=-3x+c
f(x)=1/(c-3x)=y' 又 y'(0)=-1 ==>c=-1 y'=-1/(3x+1) y=-ln|3x+1|/3+c'
又y(0)=0 c'=0 y=-ln|3x+1|/3