Question

要过程，数学题。速度一点。

Answer 1

菱形

1. 连接AC，BD             AM=BM         CM=DM     〈AMC=BMD=60+BMC

三角形AMC全等三角形BMC        ——（SAS）

所以AC=BD

中点定理

EH=0.5BD且平行

 FG=0.5BD且平行

EF=0.5AC且平行

GH=0.5AC且平行

所以EF=GH=EH=FG=0.5AC=0.5BD

先证明EFGH平行四边形，再是菱形

2.无影响

3.正方形

连接AC，BD

AM=BM

CM=DM

〈AMC=BMD=90+BMC

三角形AMC全等三角形BMC        ——（SAS）

所以AC=BD，DBM=CAM

设AM，BD交与K，AC,BD交与O，BKM=AKO(对顶角相等)

在三角形AKO和三角形BKM，AOK=BMK=180-KAO-AKO=90

  AC垂直BD

先证明平行四边形——再菱形（同1证明一样）——垂直：正方形

Answer 2

这个是费马点定理（没记错的话初中奥赛初赛有这题）。baidu wiki 就有证明的，下面是一种证明方法。

证明：在△ACD、△ABF中，

AD=AB

∠DAC=∠BAF

AC=AF

∴△ACD≌△ABF(SAS)

∴∠ADC=∠ABF

∴A、B、O、D四点共圆。

∴∠AOB=120°。

同理可得，∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°。

过点A、B、C作OA、OB、OC的垂线交于三点R、S、T，易知△RST

是正三角形。

在△ABC内作异于O一点G，作RS、ST、RT的垂线GX、GY、GZ，连

接GA、GB、GC。

易用面积法得：OA+OB+OC=GX+GY+GZ。

∵点到线之间，垂线段最短，

∴OA+OB+OC=GX+GY+GZ>GA+GB+GC

∴点O是费马点。

追问

这里有三小问，另外可以简单一点吗，我们学的是中点四边形研究。

追答

第一问连接AC,BD，由中位线与底边平行且等于底边一半可证平行四边形
第二问显然不影响啊（这是一般性的结论）
第三问连接AC,BD，证明BMD和AMC全等得到角MBD和MAC相等，然后有AC垂直BD，可证正方形，同样是一般性结论
（因为对费马点记忆很深刻0.0，所以没看清题目就贴答案了，抱歉-。-）

追问

第二题影响吗？

追答

都不影响，一般性结论