Question

一个关于勾股定理的数学问题

在△ABC中，CD是中线，AC²+BC²=4CD²，求证△ABC是直角三角形。

Answer 1

因为中线 所以CD=二分之一AB

AC²+BC²=4CD² 即AC²+BC²=4（二分之一AB）²=AB平方

三角形ABC是直角三角形

Answer 2

延长CD至E，使得CD＝DE，再连接AE、BE，则有ACBE为平行四边形，即有AC＝BE，AE＝BC，EC＝2CD。最后由条件可知，角EBC为直角，所以就会有角BCA为直角，故而三角形ABC为直角三角形。

Answer 3

证明，
延长CD至E，并使DE=DC。
连接AE, BE。
则因为D是AB中点，所以AD=DB。
又CD=DE，且角BDC=角ADE是对顶角，
所以三角形BCD全等于三角形ADE，
因此BC = AE，同理有AC=BE，所以ACBE是平行四边形。
在三角形CAE中，AE=BC, CE=2CD，
因为AC^2 + BC^2 = AC^2 + AE^2 = 4CD^2 = (2CD)^2 = CE^2
即AC^2 + AE^2 = CE^2
所以ACE是直角三角形，角CAE=90度。
所以角ACB=180-角CAE=90度，故ABC是直角三角形。

希望有用。

Answer 4

延长cd到e使cd=de易得三角形acd全等三角形bed于是有AC²+BC²=4CD²得AC²+BC²=ce²故∠cbe为直角从而推出∠acb为直角 ok！写的粗糙，请谅解！思路如果还不清问我！！！！！！！！！！

Answer 5

取AC中点E，连结DE
由中位线定理，AC²+BC²=4CE^2+4DE^2=4CD²,即CE^2+DE^2=CD^2,DE垂直AC，而DE平行BC,故∠AXB=90