Question

外层函数的定义域不是内层函数的值域吗？？怎么还有部分落入全部落入的说法？好像只是子集一样

外层函数的定义域不是内层函数的值域吗？？怎么还有部分落入全部落入的说法？好像只是子集一样红笔所说的

Answer 1

是的。
这是难点，要讲清楚，一言难尽。
最关键的“两个函数”的内涵不一样。
您说的“两个函数”，是“已经复合后的两个函数”。“复合”是过去式。
讲义说的“两个函数”，是“没有复合前的两个函数”。“复合”是将来式。
1. 例如：
外层y= u²，定义域R，值域y≥0，
内层u=sinx，定义域R，值域[-1，1]，
复合函数y=sin²x，定义域R，它是内层定义域的一个子集，是“全部落于”的例。
2. 又如：
外层y=lnu，定义域R+，值域R，
内层u=x²，定义域R，值域[0，+∞)，
复合函数y=lnx²，定义域(0，+∞)，它是内层定义域的一个真子集，是“仅部分落于”的例。

追问

当内层函数值域完全落在外层函数的定义域里，那么复合函数的定义域是不是就是内层函数的定义域？当部分时，定义域就取外层函数的定义域与内层函数的值域的交集？f(x＋1)和f[g(x)]那个是复合函数？外层函数的定义域是内层函数的值域适用于哪个？

谢了

追答

1.当内层函数值域完全落在外层函数的定义域里，那么复合函数的定义域是不是就是内层函数的定义域？
是的。
2.当部分时，定义域就取外层函数的定义域与内层函数的值域的交集？
不是的。复合函数的定义域应该是内层函数取满这个交集时的定义域。

3.f(x＋1)和f[g(x)]那个是复合函数？外层函数的定义域是内层函数的值域适用于哪个？
f(x+1)是复合函数。看成y=f(u),u=x+1,而u的值域 R，据函数定义f(u)定义域不空，所以它们交集不空，满足你讲义的条件（3）。

f[g(x)]不一定。反例 y=lnu,u=-x²。不满足条件（3）。但是，注意，如果说“复合函数f[g(x)]”,则是复合函数。

追问

谢谢了

麻烦你了

等一下2不懂，另外少回答一个问题

另外呢个反例是-x方？？

反例应该不存在啊

对于你会大的第二个，此时复合函数的定义域应该这样。把那个交集看做内层函数的值域来解出x!!

是不是