Question

定义在区间（0，正无穷大）上的函数f(x)满足 f(x1/x2)=f(x1)-f(x2) ，且当 x>1 时， f(x)<0

判断f(x) 的单调性
若f(3)=-1 ，解不等式f(|x|)<-2

Answer 1

解：（1）由题意可得：
当x1=x2时，x1/x2=1
所以f(x1/x2)=f(1)=f(x1)-f(x2)=0
在区间（0，正无穷大）,当x1>x2时，x1/x2>1
所以f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)
所以f(x)在定义域内为减函数。
（2）因为f(3)=-1，f(1)=0 令x1=1,x2=3可得
f(1/3)=f(1)-f(3)=1
令x1=3,x2=1/3可得：
f(9)=f(3)-f(1/3)=-2
所以f(|x|)<f(9)=-2
因为f(x)在定义域内为减函数
所以|x|>9
所以x>9或x<-9

Answer 2

如果你没有思路，你可以先想对数函数具有f的性质，所以可以用对数函数作为解题参照。

若x1 > x2 > 0，则x1/x2 > 1，于是f(x1) - f(x2) = f(x1/x2) < 0。故而f是单调递减的。

首先要找到使得f(x0) = -2的x0值。显然f(9) = f(9/3) + f(3) = f(3) * 2 = -2。故而依据单调性，f(|x|) < -2的解集合是{x | x > 9 或 x < -9}。