Question

急求初三数学题，急、急、急

在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B、C重合），EF⊥AC,垂足分别为F,G
问：（1）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由。
（2）当AB=AC时，△FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由。

Answer 1

在△ABC中∠BAC=90°,AD是BC边上的高.E是BC边上的一个动点(不与B,C重合),EF⊥AB,EG⊥AC,FD与DG是否垂直?
_______________
两种方法：一是△ADF相似于△CDG
二是△BDF相似于△ADG如下
——————————————————
因为 ∠BAC=90°,AD⊥BC
所以 △ABC相似于△DAC，角C = 角FAD
所以 AB/AC=AD/CD
因为 EF⊥AB,EG⊥AC
所以 EG//AB，EG=AF
所以 EG/AB=CG/AC
所以 AB/AC=EG/CG=AF/CG
所以 AD/CD=AF/CG
又因为 角FAD = 角C
所以 △ADF相似于△CDG
所以 角ADF = 角CDG
所以 角FDG = 角ADF+角ADG = 角CDG+角ADG = 角ADC = 90°
所以 FD⊥DG
______________________________
首先三角形BAD与BCA相似（角角角）
所以 BD/BA=AD/AC
所以 BD/AD=BA/AC
又 BF/FE=BF/AG=BA/AC(同样是相似）
所以BD/AD=BF/AG
又角B=角DAC（此处不用解释）
所以 三角形BFD与三角形AGD相似
所以 角BDF=角ADG
因为 角ADB=ADF+BDF=90 所以 ADG+ADF=90
所以垂直

第二问
当AB=AC 时，因为 三角形BFE与三角形BAC相似，
所以 BF=FE
所以 三角形 BFD与三角形AGD 全等
所以FD=GD
再加第一问结果 所以 是等腰直角三角形