Question

一道几何题，怎么做怎么做？

如图，在△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1点，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2点，依次类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A4，（1）求∠A4的大小。（2）若设∠A=a，按照上述方法构成的∠An的度数是多少？

Answer 1

角A1 = 180-角A1BC-角A1CB
= 180 - 1/2 角ABC - (角ACB + 角ACA1)
= 180 - 1/2 角ABC - 角ACB - 1/2 角ACD
= 180 - 1/2 角ABC - 角ACB - 1/2 (180 - 角ACB)
= 180 - 1/2 角ABC - 90 - 1/2 角ACB
= 90 - 1/2 (角ABC + 角ACB)
= 90 - 1/2 (180 - 角A)
= 1/2 角A
= 48

如果把角A(n-1)看作是新的角A，那么同样的过程可得An = 1/2 A(n-1)
因此An = 1/2^n * 角A = a/2^n
所以A4 = 1/2^4 * 96 = 96/16 = 6度

即，A4 = 6度，An = a/2^n