Question

如图,已知等边三角形ABC中,D为BC边上一点,F为AB边上一点，且CD=BF，以AD为边作等边三角形ADE，连接EF、CF

求证：1，三角形ADC全等三角形CFB
2，四边形EFCD是平行四边形

Answer 1

1、根据题意：CD=BF，BC=AC，∠B=∠ACB=60
所以三角形ADC全等三角形CFB
2、所以∠BFC=∠ADC，CF=AD=DE ①（等边三角形ADE，所以AD=DE）
三角形BFC中∠BCF=180-∠B-∠BFC=120-∠BFC
而∠BDE=180-∠ADE-∠ADC=120-∠ADC （等边三角形ADE，所以∠ADE=60）
所以∠BCF=∠BDE
所以CF‖DE ②
由①②得四边形EFCD是平行四边形

Answer 2

（1）证明：由△ABC为等边三角形，AC=BC，∠FBC=∠DCA，CD=BF，
所以△ACD≌△CBF．
（2）在△AEB，△ADC中，
AB=AC，
∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°，
即∠EAB=∠DAC，
AE=AD，
∴△AEB≌△ADC（SAS）．
∴△AEB≌△ADC≌△CFB． （由（1）得）
∴EB=FB，∠EBA=∠ABC=60°（全等）．
∴△EFB为正三角形．
∴EF=FB=CD，∠EFB=60°．
又∵∠ABC=60°，
∴∠EFB=∠ABC=60°．
∴EF‖BC（内错角）．
而CD在BC上，
∴EF平行且相等于CD．
∴四边形CDEF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）

Answer 3

第一问：FB=DC 角FBC=角DCA、BC=CA，所以三角形ADC全等于三角形CFB
第二问：由第一问得到：AD=CF，同时ADE是等边三角形，所以AD=ED，得到CF=ED；根据第一问的三角形全等，可知角FCB=角DAC；同时有角EDB+角ADC=120°=角ADC+角DAC，可以得到角EDB=角DAC=角FCB，这样对于线段ED和FC，有同位角EDB和FCB相等，且两线段长度相等，所以有四边形EFCD为平行四边形。

Answer 4

1.由题意可知：AB=AC=BC,AD=AE=DE,又CD=BF
∴∠CBF=∠ACD=60°,BF=CD,AC=BC
∴△ADC≡△CFB(边角边)
2.由1可知CF=AD=DE ∠BCF=∠CAD ∠BFC=∠CDA ∠B=∠ADE=60°
又∠BFC+∠B+∠BCF=180°
∴∠CDA+∠ADE+∠BCF=180°
∴ED‖FC
∴ED平行且等于FC
又∵CF=DE
∴四边形EFCD是平行四边形