Question

高一数学求函数问题，数学高手进

已知g（x）=-x^2-3,f(x)是二次函数，f(x)+g(x)为奇函数，且当x属于《-1,2）时，f(x)的最小值为1，求f(x)的解析式

Answer 1

因为f（x）为二次函数，设为f（x）=ax²+bx+c
首先，f(x)+g(x)是奇函数，设这个奇函数为T（x）
所以T（0）=0，又g(x)=-x²-3
代入得 T（0）=f（0）+g（0）=c-3=0
∴c=3 → f（x）=ax²+bx+3
奇函数T（x）有T(1)+T(-1)=0
代入得：T(1)+T(-1)=f（1）+g（1）+f（-1）+g（-1）
=a+b+3-4+a-b+3-4
=2a-2
=0
∴a=1 →f（x）=x²+bx+3 图像开口向上，对称轴为x=-b/2
（结合图像分类讨论）
①对称轴在-1左边，即x=-b/2＜-1时→b＞2
图像在x∈[-1,2]最小为x=-1时得到，
代入f（-1）=1-b+3=1， b=3＞2，成立；
②对称轴在[-1,2]之间时，-1≤-b/2≤2时→2≥b≥-4
图像x=-b/2时最小
代入f（-b/2）=b²/4-b²/2+3=-b²/4+3=1→b=±2√2（±2根号2）
又2≥b≥-4， 2√2＞2，舍去，-2√2符合，成立；
③对称轴在2右边，即边x=-b/2＞2时→b＜-4
图像在x∈[-1,2]最小为x=2时得到，
代入f（2）=4+2b+3=1b=-3＞-4，舍去。

综上所述，b取值为3或-2√2。

所以f（x）=x²+3x+3 或 f（x）=x²-2√2x+3。

Answer 2

有一个结论，就是偶函数加偶函数仍为偶函数。奇函数加奇函数仍为奇函数。
奇函数里面不含x的偶此项。所以f（x）里必然含有-x^2 设f（x）=-x^2+kx+b
f(x)+g(x)为奇函数，说明当x=0时，函数值也为0. 由于g（0）=-3
所以f(0)=3 所以b=3 那么f(x)+g(x)=kx 如果k>0 那么函数在《-1,2）存在最小值
如果k=<0那么就不存在最小值。 所以k>0 最小值在x=1时取得，为1，也就是k
所以k=1 f(x)=-x^2+x+3

Answer 3

f(x)+g(x)若含有二次项和零次项，则不可能是奇函数
所以f(x)=x^2+bx+3
当 x属于[-1,2)时，f(x)最小值为1
f(x))=x^2+bx+3=(x-b/2)^2+3-b^2/4
若b/2属于[-1,2)，则f(x)最小值即为3-b^2/4=1，解之b=±2*根号2
-2*根号2/2<-1,舍去
f(x)=x^2+2*根号2+3
一楼大亮