Question

谢谢！！已知圆C：(x-1)^2+y^2=r^2(r＞1),设M为圆C与x轴负半轴的交点，过M作圆C的弦MN，并使它的中点P恰好

并使它的中点P恰好落在y轴上(1)当r∈(1,+∞)时,求点N的轨迹E的方程
(2)A(x1,2),B(x2,y2),C(x0,y0)是E上不同的点，且AB垂直BC，求y0的取值范围

已知抛物线C的顶点在原点,焦点在X轴上且抛物线C上的点P(2,4),过P作抛物线的动弦PA
,PB，设斜率分别为Kpa,Kpb,
1.求抛物线方程
2.若Kpa+Kpb=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值
3.若Kpa+Kpb=1，求证直线AB过定点，并求出其坐标

Answer 1

（1）因为M(1-r,0)，中点为y轴，所以N(r-1,y)。代入圆的方程有：N(r-1,正、负根号下(4r-4))。对N的x，y坐标消去参数r有：E:y^2=4x
（2）确定A(1,2)。利用斜率之积为-1和两点式可以解得：y0=-(y2+16/(y2+2))（得排除B、C重合点（即令y0=y2求解，不存在）与A、B重合点（即y2=2，y0=-6））利用基本不等式可求得y0范围：y0>=10或者y<-6(考虑排除A、B重合情形)。

1.代入P即可解出抛物线方程：y^2=8x。
2.代入两点式有：对于A、B均得满足：k=8/(4+y)。
Kpa+Kpb=0即：ya+yb=-8
两点式确定AB斜率：Kab=(ya-yb)/(xa-xb)=8(ya-yb)/(ya^2-yb^2)=8/(ya+yb)=-1
3.Kpa+Kpb=1即：yayb-4(ya+yb)-48=0。
而Kab=8/(ya+yb)，于是：可将两点式：(y-yb)/(x-xb)=Kab化简成：y-yb+(yb^2-8x0)/(ya+yb)=Kab(x-x0)（其中x0为待求AB所过的点横坐标）进一步化简有：左边=y-(yayb+8x0)/(ya+yb)=y-4(yayb+8x0)/(yayb-48)。故取x0=-6时，AB所过的点与ya，yb的选取无关。进一步，可确定定点纵坐标y0=4。所以确定定点(-6,4)

追问

3.若Kpa乘Kpb=1，求证直线AB过定点，并求出其坐标

Answer 2

解：(1)由条件知：M(-r+1,0),设P(0,b),N(x,y),则x=r-1.

所以(r-1-1)2+y2=r2,即y2=4r-4=4x.

所以点N的轨迹方程为y2=4x.

(2)由(1)知A(1，2)，B(,y2),C(,y0),y0≠2,y0≠y2，

则=(,y2-2),=(,y0-y2).

又因为AB⊥BC,所以AB·BC=0,

×+(y2-2)(y0-y2)=0，

整理得y22+(y0+2)y2+16+2y0=0，则此方程有解，

所以Δ=(y0+2)2-4×(16+2y0)≥0,解得y0≤-6或y0≥10，

当y0=-6时，B(4，2)，C(9，-6)，故符合条件;

当y0=10时，B(9，-6)，C(25，10)，故符合条件.

所以点C的纵坐标y0的取值范围是(-∞,-6〕∪〔10,+∞).