Question

设等差数列{an}的前n项和为sn,且a5+a13=34,s3=9，

设数列｛bn｝的通项公式为bn=an/(an+t),问：是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m属于N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：设数列an的第一项为a1、公差为d，由等差通项公式：a5=a1+4d,a13=a1+12d
所以a5+a13=34为2a1+16d=34,即 a1+8d=17
s3=9 即3a1+3d=9 ,即a1+d=3，联立解得：a1=1 d=2,所以数列an的通项公式为an=2n-1
所以数列b1=a1/a1+t=1/（2t+1）
b2=a2/a2+t=3/(2t+3)
bm=(2m-1)/(2t+2m-1)
假设b1,b2,bm为等差数列则公差d=b2-b1=3/(2t+3)-1/(2t-1)=4t/(2t+3)(2t+1)
那么bm=b2+d=3/(2t+3)+4t/(2t+3)(2t+1)=(10t+1)/(2t+3)(2t+1)
由于bm=bm是恒等式所以有：2m-1=10t+1;(2t+2m-1)=(2t+3)(2t+1)组成方程组解得关于t的二次方程，方程判别式小于零，故无意义。
不存在一个t使得b1,b2,bm形成等差数列。

Answer 2

存在，因为A3+A9=34，所以D=（17-A3）/5， 因为S3=9，所以A3=-0.5,D=3.5，A1=-7.5 所以 AN=3.5N-11. 所以BN=(3.5N-11) /(3.5N-11+T) 所以B1=-7.5/（-7.5+T），BM=

Answer 3

不存在
首先可求出an=2n-1,
然后反设如果bn是等差,则b1+b3=2b2,由些求出的t=0,无正敕数解.

Answer 4

算得mt-m-3t-1=0
t=(m+1)/(m-3)
t是整数
t=1+4/(m-3)
m=4
m=5
m=7
怎样？