Question

关于初中数学分式的一道奥数题

实数a、b、c满足1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c)。
求证：1/a7+1/b7+1/c7=1/(a7+b7+c7)
注：7均为七次方

Answer 1

证明：
1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c)
（通分）
(bc+ac+ab)/(abc)=1/(a+b+c)
(bc+ac+ab)(a+b+c)=abc
abc+b^2c+bc^2+a^2c+abc+ac^2+a^2b+ab^2+abc=abc
b^2c+bc^2+a^2c+ac^2+a^2b+ab^2+2abc=0
(b^2c+a^2b+ab^2+abc)+(bc^2+a^2c+ac^2+abc)=0
b(bc+a^2+ab+ac)+c(bc+a^2+ac+ab)=0
(b+c)(bc+a^2+ab+ac)=0
(b+c)[(bc+ab)+(a^2+ac)]=0
(b+c)[b(a+c)+a(a+c)]=0
(b+c)(b+a)(a+c)=0

所以
a+b=0或b+c=0或c+a=0，
即a=-b或b=-c或c=-a.
所以1/a7+1/b7+1/c7=1/(a7+b7+c7)