Question

大神帮忙解答一下

Answer 1

P(x,y)=3/2 y^2 *φ(x)
Q(x,y)=φ(x) *y -x^2 *y/2
积分与路径无关，
所以得到∂P/∂y=∂Q/∂x
即3y *φ(x)=φ '(x) y -xy
所以φ '(x) -3φ(x)= x
显然对应齐次方程通解为c *e^3x
而特解为 -x/3 -1/9
即φ(x)=c *e^3x -(3x+1)/9

L是起点为(0,0)，终点为(1,1)是有向曲线
选择起点到终点的线段，

可以看作(0,0)到(1,0)到(1,1)
而φ(0)=c -1/9，φ(1)=c *e^3 -4/9
显然(0,0)到(1,0)积分
y=0，dy也等于0，于是两个式子都为0

而(1,0)到(1,1)，dx=0，x=1
积分值=∫(0到1) [φ(1)-1/2] *ydy
=1/2 *φ(1)-1/4=1/4
解得φ(1)=c *e^3 -4/9=1
即c=13/(9e^3)
于是得到函数
φ(x)=13/(9e^3) *e^3x -(3x+1)/9
=[13e^(3x-3) -3x-1]/9