Question

设关于x的函数y=2cosx的平方-2acosx-(2a+1)的最小值为f(a),试确定满足f(a)=1/2的a值和此时的y最大值.

你的答案是a=-1，但是当a=-1时f(a)=f（-1）算出来不是1/2 请解答下

Answer 1

y=2cos²x-2acosx-(2a+1)=2[cos²x-acosx+a²/4]-(a²/2+2a+1)=2(cosx-a/2)²-(a²/2+2a+1)
∴当cosx-a/2=0即cosx=a/2时函数有最小值 f(a)=-(a²/2+2a+1)
令 f(a)=-(a²/2+2a+1)=1/2 解得a=-1或a=-3 (经检验f(-1)=f(-3)=1/2)
当a=-1时y=2(cosx+1/2)²+1/2 ∴最大值是2(1+1/2)²+1/2=5
当a=-3时y=2(cosx+3/2)²+1/2 ∴最大值是2(1+3/2)²+1/2=13
请复核数字计算

Answer 2

解：
y=2(cosx)^2-2acosx-(2a+1),对y求导，
则y'=4cosx(-sinx)+2asinx=sinx(2a-2cosx）
由于y为连续函数，且存在极值，则y'=0，所以sinx=0或者若sinx=0，则cosx=1或者-1，
（1）所以sinx=0，cosx=1时最小值
f(a)=y=2-2a-2a-1=1-4a=1/2.a=1/8,
y=2(cosx)^2-（1/4）cosx-5/4；
该方程极值点sinx=0或者cosx=1/16，。
2）所以sinx=0，cosx=-1时最小值
f(a)=y=2+2a-2a-1=1=1/2.不成立，此假设不成立。
（3）2a-4cosx=0，则cosx=a/2;
f(a)=y=-a^2-2a-1=1/2,a=-1或-3，y=2(cosx)^2+2cosx+1或y=2(cosx)^2+6cos+5

Answer 3

1