Question

在四边形ABCD中，AD//BC，AB=DC，AC与BD相交于点O，∠BOC=120°，AD=7,BD=10，求四边形ABCD的面积

平行四边形的解法 初中知识

Answer 1

（一）如果是平行四边形

根据题意，有：

AD = 7，OD = OB = 1/2 BD = 5

∠AOD = ∠BOC = 120°

在ΔAOD中，根据余弦定理：

AD² = AO² + DO² - 2 AO•DO cos∠AOD

AO²+ 25 + 5 AO =49

AO² + 5 AO – 24 = 0

解得：AO = 3  或 AO = -8

舍去负数，取AO = 3

过A点向BD做垂线AE，交BD于E点

AE = AO cos∠AOB = 3 • (√3)/2 = (3/2) √3

所以：

SΔABD = AE • BD / 2 =  (3/2) √3 • 10 / 2 = (15/2) √3

S(ABCD) = 2 SΔABD = (15/2) √3 • 2 = 15√3

（二）如果是等腰梯形

如图，不难发现：

 ∠DAC = ∠ACB = ∠DBC = 30°

AD = 7

 AC = BD = 10

在ΔADC中，根据余弦定理

 DC² = AD² + AC² - 2 AD • AC cos∠DAC = 49 + 100 – 2 • 7 • 10 • (√3)/2 = 149 - 70√3

过点D作BC的垂线DE，交BC于E

在RtΔBDE中DE = BD • sin∠DBC = 10 / 2 = 5

在RtΔCDE中，EC² = DC² - ED² = 149 - 70√3 – 25 = 124 - 70√3 = 25 • 3 - 2 • (5√3) • 7 + 49 = (5√3 - 7) ²

所以EC = 5√3 – 7

所以BC = AD + 2EC = 10√3 – 14 + 7 = 10√3 – 7

所以S(ABCD) = (1/2) (BC + AD) • ED = (1/2) (10√3 – 7 + 7) • 5             = 25√3

Answer 2

由AD‖BC，AB=CD，
（1）四边形可能是等腰梯形。
过D作DE⊥BC于E，
∵∠BOC=120°，∴∠DBC=30°。
又BD=10，∴高DE=5，
BE=5√3，CE=5√3-7，
梯形面积S=（7+5√3+5√3-7）×5÷2=25√3，
（2）四边形可能是平行四边形。
过D作DE⊥BC交BC延长线上，
由BD=10，∠DBE=30°，
∴DE=5，
平行四边形ABCD面积S=BC×DE=7×5=35.
我不知道你需要哪个答案，所以都做出，供参考。

追问

，∠DBE=30°，
解释一下
答案是15√3

Answer 3

解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，DF⊥BC于F
∵DE∥AC，AD∥BC
∴四边形ACDE为平行四边形
∴DE=AC=BD
∴三角形BDE是等腰三角形
∵∠BOC=120°
∴∠BDE=120°
∴∠OBC=∠OCB=30°
∴DF=12BD=5，BF=32BD=53，BE=2BF=103．
∵AB=DC，BD=DE，∠DEC=∠BDA
∴△ABD≌△CDE
∴根据梯形的面积等于三角形BDE的面积，即12×103×5=253．

Answer 4

这个图形是等腰梯形或者是平行四边形

追问

解法 啊 平行四边形我不会啊

追答

等腰梯形的话，boc这个三角形就是等腰三角形（自己证明），顶角120度
同样的aod也是等腰三角形，aod这个角也是120度（对顶角）
知道ad等于7的话，aod这个三角形三边就知道了，当然包括高（这个等腰三角形只要一作高，啥事都知道了）
由此bo也就知道了（bo=bd-od）
在三角形boc中，也就能求出它的高了，同时能求出bc这条边
梯形的高是这两个等腰三角形高之和
然后用公式吧